Algebra Y Trigonoetria

1 Resolver las siguientes ecuaciones.

a.

3x/(x-2)=1+6/(x-2)

Primero hallamos su dominio y es el conjunto de todos los números reales tales que x-2≠0, es decir x≠2; pues para este valor la fracción se vuelve cero en el denominador y las divisiones entre cero no están definidas.

Multiplicando toda la ecuación por x-2, se tiene

(x-2)3x/(x-2)=1(x-2)+(x-2)6/(x-2)

3x=x-2+6

3x-x=-2+6

2x=4

x=4/2

x=2

Pero precisamente este valor no hace parte del dominio, por tanto la ecuación no tiene solución en los números reales.

b.

4/(2x-3)+10/(4x^2-9)=1/(2x+3)

Primero hallamos el dominio de esta ecuación y va a ser el conjunto de todos los números reales tales que 4x^2-9≠0, es decir x^2≠9/4 o lo que es lo mismo

x≠±3/2

Pues para estos dos valores la fracción se hace cero y estas divisiones no están definidas.

Tomemos la ecuación

4/(2x-3)+10/(4x^2-9)=1/(2x+3)

Y multipliquemos cada término por (4x^2-9)=(2x+3)(2x-3)

(4x^2-9)4/(2x-3)+(4x^2-9)10/(4x^2-9)=(4x^2-9)1/(2x+3)

(2x-3)(2x+3) 4/(2x-3)+(4x^2-9) 10/(4x^2-9)=(2x-3)(2x+3) 1/(2x+3)

4(2x+3)+10=(2x-3)

├ 8x+12┤+10=├ 2x-3┤

8x-2x=├ -3-10-12┤

6x=├ -25┤

x=-25/6

Como este numero hace parte del dominio, entonces la solución de esta ecuación es

x=-25/6

2. En una semana de 40 horas de trabajo dos máquinas de hacer tornillos producen 85000 partes. La más rápida de las dos trabaja todo el tiempo, pero la más lenta estuvo 6 horas en reparación. En la semana siguiente producen 91000 partes, pero la más rápida permaneció detenida 3 horas mientras se le hacía mantenimiento y la más lenta trabajó 9 horas extras.

¿Cuántas partes puede producir cada máquina en 1 hora?

Sea

X el número de partes que puede producir la maquina rápida

Y el número de partes que puede producir la maquina lenta

Entonces por la lectura tenemos que la maquina rápida trabaja las 40 horas, entonces en símbolos será 40x. Análogamente la maquina lenta estuvo parada 6 horas de las 40, por tanto trabajó 34 horas, entonces en símbolos será 34y

Y como entre ambas fabricaron 85000 partes entonces una ecuación será:

40x+34y=85000

Para la semana siguiente por la misma analogía entonces la mas rápida y la lenta trabajaron 37x y 49y respectivamente.

Por tanto formamos la otra ecuación:

37x+49y=91000

Luego tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

40x+34y=85000

37x+49y=91000

Multiplicando la primer ecuación por 37 y la segunda por 40 se tiene:

1480x+1258y=3145000

1480x+1960y=3640000

Ahora restándolas término a término se tiene:

1258y-1960y=3145000-3640000

-702y=-495000

702y=495000

y=495000/702

y≈705

Ahora remplazamos este valor en la primer ecuación y se tendrá:

40x+34y=85000

40x+34(705)=85000

40x+23970=85000

40x=85000-23970

40x=61030

x=61030/40

x≈1526

Entonces la maquina rápida X produce aproximadamente 1526 piezas por hora y la maquina mas lenta Y produce aproximadamente 705 piezas por hora.

3 Resuelva las siguientes inecuaciones y halle el conjunto solución.

a)

-5≤(4-3x)/2<1

Multiplicando toda la inecuación por 2 tenemos:

-5≤(4-3x)/2<1

-5(2)≤2 (4-3x)/2<1(2)

-10≤4-3x<2

Restando 4 en cada parte de la inecuación

-10-4≤4-3x-4<2-4

-14≤-3x<-2

Multiplicando por -1/3 a cada término de la inecuación entonces la desigualdad se invierte en su sentido

-14≤-3x<-2

-14(-1/3)≥-3x(-1/3)>-2(-1/3)

14/3≥x>2/3

O escrito de otro modo

2/3<x≤14/3

Luego el conjunto solución será como intervalo

(2/3,┤ ├ 14/3]

b)

(2x-3)(4x+5)≤(8x+1)(x-7)

Rompamos paréntesis

8x^2+10x-12x-15≤8x^2-56x+x-7

Ahora sumamos términos semejantes

8x^2-8x^2+10x-12x+56x-x-15+7≤0

53x-8≤0

53x≤8

x≤8/53

Así el conjunto solución

...