Antiderivada

ANTIDERIVADA

f(x) = x2     f´(x)= y´= 2x[pic 1]

Si conocemos que 2x   la anti-derivada será la f(x) que al derivarla da 2x[pic 2]

Anti-derivada de 2x es x2. Observen que f(x) = x2+ c también es una anti-derivada de 2x. Es una familia de curvas, siendo c un valor constante, se llama constante de integración

El símbolo de la anti-derivada  dx = x2+ c. El símbolo es una s alargada, que indica suma. Se lee integral de g(x) con respecto a una variable. A esto se le llama integral indefinida.[pic 3]

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES BÁSICAS

1. = kx+c[pic 4]
2. n dx =  +c    excepto para n =-1[pic 5][pic 6]

5 dx =  +c =  + c[pic 7][pic 8][pic 9]

-2/3 dy = y-2/3+1/ (-2/3 + 1) +c =  +c= 3 + c[pic 10][pic 11][pic 12]

1. dx = -1dx = ln|x+c|[pic 13][pic 14]
2. xdx = ex+c[pic 15]
3. = senx+c[pic 16]
4. = -cosx+c[pic 17]
5. 2xdx = tanx +c[pic 18]
6. = secx+c[pic 19]
7. = k[pic 20][pic 21]
8. = ± [pic 22][pic 23][pic 24]

Ejemplo

= 6- ++c = [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

 -  +9x +c[pic 29][pic 30]

Ejemplo

        Encuentre esta integral indefinida sabiendo que F(1) = 6[pic 31]

 (solución general)[pic 32]

 6 = 3/5 +c    C=6-3/5 = 27/5

      solución particular[pic 33]

: si la derivada de F(x) es f´(x), entonces [pic 34]

 es la antiderivada de f´(x)[pic 35]

LINEALIDAD DE LA ANTIDERIVADA

 dy =  +c =  =         3                                [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

[pic 41] dx -  dx + [pic 42][pic 43][pic 44]

6 -  + 9x + c =  -  9x +c[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

Si F(x) es la antiderivada de f(x)   y  G(x) es la antiderivada de g(x), entonces la antiderivada de f(x) + g(x) = F(x) + G(x) +c.

1. Antiderivada de cf(x) = c  antiderivada de f(x)

Veamos un ejemplo:

Encontrar la antiderivada de h(x) = 5x2 +  [pic 49]

La antiderivada de 5x2 =    y la antiderivada de  es tan-1x[pic 50][pic 51]

Por lo tanto, antiderivada de h(x) = 5x2 +  =  + tan-1x +c Esta es la solución general. [pic 52][pic 53]

NOTA: F(x) es la antiderivada de f´(x)  y f´(x) es la antiderivada de f”(x)

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