La antiderivada

F-CI3-101: Antiderivadas

Acción CI3-101: El proceso de la Antiderivada

Resolver una integral puede identificar dos cosas:

·        Obtener una antiderivada si la integral que se pretende resolver es indefinida; o bien,

·        Encontrar un número si la integral es definida, concepto que será tratado como siguiente concepto.

El segundo de los casos y dependiendo de la forma de presentación de la información puede emplear la integración numérica o bien aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo de donde, te tendrás que apoyar en la obtención de antiderivadas.

Este apartado se concentra básicamente en la obtención de antiderivadas, por tal motivo no se presentan aplicaciones ya que estas caerían necesariamente en la categoría de ejercicios.

La forma más elemental de obtener antiderivadas es aplicar de manera inversa los teoremas de derivadas, tal y como se mostró en la Acción CI2-102.  Sin embargo debido al constante uso de las tablas, en la mayoría de los textos se incluye una tabla que muestra los teoremas básicos de antiderivadas, consigue una y tenla contigo te será muy útil.

Una de las expresiones más simple y a la vez muy útil es la llamada un, ya que según la tabla de derivadas (un)’ = nun-1u’.

[pic 1]

1. ¿Por qué la antiderivada presenta ?

                R= Porque una antiderivada es la inversa de la derivada  que se está planteando, y como en la derivada de  a se le resta 1 y también se está multiplicando por  la operación inversa de la resta es la suma y la inversa de la multiplicación es la división. Por último la constante de integración se añade pues hay varias funciones que tienen la misma derivada, por lo cual se añade esa constante para abarcar cualquier variable que pudiera quedar fuera. Es por eso por lo que la antiderivada se presenta de esa manera.[pic 2][pic 3][pic 4]

2.  ¿Cómo se vería la antiderivada si el teorema se hubiera presentado así?[pic 5]

R= Se vería de la siguiente manera:    [pic 6]

3.  ¿Cuál de las dos formas es más común de encontrar en las expresiones?

                R=De la primera, pues normalmente al integrar, lo que obtienes es la antiderivada y para comprobar que la integración se realizó de la manera correcta hay que derivar el resultado y revisar si el resultado la derivación es igual a la función que se integró.

Encontrar una antiderivada es un proceso ordenado en el cual lo más importante es verificar que todos los elementos de la estructura estén presentes e identificar cual será la elección más adecuada de u, para eso se te sugiere el siguiente esquema:

1.    Detecta si existen simplificaciones algebraicas que generen un integrando más simple.

2.    Si existen sumas o restas como expresión central separa el integrando en varias integrales. Recuerda sólo sumas y restas.  Si hay alguna constante multiplicando a todo el integrando “escríbela fuera de la integral”.

3.    Analiza la estructura del integrando y busca en los teoremas aquel que más se le parezca.  Si tiene cocientes busca cocientes, si tiene radicales buscas radicales, etc.

4.    No te dejes apantallar por la aparente complejidad, seleccionado una u adecuada, pueden ocurrir simplificaciones importantes. Selecciona la parte del integrando que consideras es “u, n, a”  o cualquier otra componente que la estructura requiera.

5.    El paso más delicado es probar que “du” está completo, puedes adivinarlo en muchos casos, pero se cuidadoso aquí es donde la mayoría se resbala...   Si seleccionaste una expresión g(x) como u, como normalmente la integral por resolver tiene dx, derívala y tendrás [pic 7].

6.    Sustituye la g(x) elegida por u, y dx por la expresión obtenida, simplifica lo que resulte necesario y escribe fuera de la integral las constantes que multipliquen a todo el integrando... la integral obtenida en este punto debe ser exactamente igual a la de tu “tabla de integrales” excepto por las constantes que están fuera. Si no es así no elegiste adecuadamente a u, o la “fórmula” no es la adecuada y tendrás que seleccionar nuevamente.  A veces el proceso es de prueba y error mientras se adquiere experiencia.

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