Modelos matematicos donde se apliquen las antiderivadas.

INTRODUCCION

Este trabajo de investigación lleva a cabo conocer la Función Primitiva o la Antiderivada de una Función en donde se encontrara explícitamente cual es la reestructuración de una Antiderivada y cómo se resuelve teniendo en cuenta los conceptos básicos de Derivación. El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada

Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o antiderivada.

Es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen más de una operación, éstas han de invertirse pero en orden opuesto. Por aclarar esto, si se considera la operación de ponerse el calcetín y después el zapato, lo inverso será primero quitarse el zapato y luego el calcetín. Cuando tenemos xn, al derivar multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo inverso será, primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el exponente, lo cual es el procedimiento que se toma al resolver una operación de antiderivada, también llamada integral indefinida o primitiva de una función.

Una antiderivada se diferencia de una derivada por la existencia de un símbolo llamado integración [pic 1]

Sus propiedades son muy similares a las de las derivadas, con solo la anexión una propiedad de linealidad.

Objetivo General

Estudiar fenómenos de la vida real, los cuales puedan analizarse mediante modelos matemáticos funcionales, que al ser examinados hagan uso de la anti derivada y que puedan ser comprobables.

Objetivos específicos

1. Utilizar la aplicación de la anti derivada para llevar a cabo el análisis de sucesos reales.

1. Contrastar el uso de los modelos matemáticos con las aplicaciones de la anti derivada para analizar datos o fenómenos cotidianos

Contenido de la Investigación

[pic 2] 

GENERALIDADES

La antiderivada, es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Dada una función, sabemos cómo hallar su derivada, este problema lo estudia el cálculo diferencial. Cuando se conoce la derivada de una función y se desea conocer la función original, se usa el cálculo integral.

[pic 3]

La antiderivada o primitiva de una función f(x) es otra función F(x)+C donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x) Es decir F’(x) = f(x) A la función F(x) se le llama una antiderivada de la una función f(x).

Reglas básicas de ANTI derivadas

La siguiente es la forma básica más usada cuando se calculan ANTI derivadas o integrales
∫undu = un+1n+1+c∫undu = un+1n+1+c con n ≠ −1n≠−1

∫duu=∫1udu=ln|u|+c∫duu=∫1udu=ln⁡|u|+c
∫eudu=eu+c

∫audu=1lnaau+c

Formas básicas con funciones trigonométricas

• ∫sin u du = −cosu+c∫sin⁡u du = −cos⁡u+c
• ∫cos u du = sinu+c∫cos⁡u du = sin⁡u+c
• ∫tan u du = −ln|cosu|+c∫tan⁡u du = −ln⁡|cos⁡u|+c
• ∫sec u du = ln|secu+tanu|+c∫sec⁡u du = ln⁡|sec⁡u+tan⁡u|+c
• ∫csc u du = ln|cscu−cotu|+c∫csc⁡u du = ln⁡|csc⁡u−cot⁡u|+c
• ∫cot u du = ln|sinu|+c
• ∫sec2 u du = tanu+c∫sec2⁡u du = tan⁡u+c
• ∫csc2 u du = −cotu+c∫csc2⁡u du = −cot⁡u+c
• ∫sec u tan u du = secu+c∫sec⁡u tan⁡u du = sec⁡u+c
• ∫csc u cot u du = −cscu+c∫csc⁡u cot⁡u du = −csc⁡u+c

Formas básicas (Se han omitido las constantes de integración c)

• ∫du a2−u2√du = sin−1(ua)
• ∫du a2−u2√du = sin−1(ua)∫dua2−u2 du = sin−1⁡(ua)
• ∫du u u2−a2√du = (1a)sec−1∣∣ua∣∣∫duuu2−a2 du = (1a)sec−1⁡|ua|
• ∫du a2−u2 du = 12aln[u+au−a]∫dua2−u2 du = 12aln⁡[u+au−a]
• ∫du u2−a2 d u = 12alnu−au+a

Propiedades de la antiderivadas

• Primera propiedad

Si F(x) en una antiderivada de F(x) y C una constante cualquiera la función F(x)+C es otra antiderivada de F(x)

• Segunda propiedad

Si una función tiene una antiderivada entonces tiene infinitas antiderivadas

Si F(x) en constante y tiene una antiderivada de F(x) para cualquier constante C; F(x)+C es otra derivada según la propiedad anterior

• Tercera propiedad

 Dos antiderivadas de una misma función se diferencian en una constante. Si F(x), entonces F(x)-g(x)=C.dc

Ejemplo ¿Qué se derivó para que la derivada sea f(x) = 4?

Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la función que se derivo es:

F1 (x)= 4x pero también las funciones         

F2 (x)=4x+5

F3 (x)=4x-2

F4 (x)=4x-12

F5 (x)=4x+15

F6 (x)=4x+8 F(x) = 4x+C

Es decir que la función cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos miembros todos tienen pendiente de +4 pero diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las gráficas para los diferentes valores de la constante C

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