Modelos Matematicos

Modelos Matemáticos

Los modelos matemáticos son modelos formales que utilizan el lenguaje de las matemáticas para describir un sistema, expresando parámetros, variables, relaciones. El lenguaje matemático no se limita a la expresión de números y operadores aritméticos que los relacionan. Así por ejemplo la teoría de grafos, ampliamente utilizada en aplicaciones prácticas, es un “subconjunto” de la más general teoría de conjuntos.

Los modelos matemáticos se pueden clasificar de múltiples maneras. A continuación se describen algunas que se consideran relevantes.

Los modelos pueden ser estáticos o dinámicos. Un modelo estático no tiene en cuenta el tiempo, mientras que los modelos dinámicos sí. Los modelos dinámicos se suelen representar con ecuaciones en diferencias o ecuaciones diferenciales.

Los modelos pueden ser lineales o no-lineales. Si todos los operadores de un modelo son lineales el modelo es lineal, si al menos uno es no-lineal el modelo es no-lineal. Aunque hay excepciones, los modelos lineales son mucho más fáciles de manejar que los modelos no-lineales. En general los modelos no-lineales pueden ser linealizados, pero entonces, es posible, que se estén perdiendo aspectos relevantes del problema.

Un modelo puede ser determinista o estocástico. Un modelo determinista es aquel en que cada conjunto de variables en un estado está definido por los parámetros del modelo y por los estados anteriores. Un modelo determinista se comporta siempre igual para un conjunto de parámetros de entrada. En un modelo estocástico las variables de estado se representan por distribuciones de probabilidad, y por tanto el modelo es capaz de recoger aleatoriedad o incertidumbre.

El modelo matemático no es más que saber interpretar la realidad a través de fórmulas matemáticas, estos expresan hechos, variables, entidades, parámetros. Los cuales estudian la complejidad de algunos sistemas ante situaciones difíciles de observar la realidad.

¿Que significa hacer un modelo matemático?

Hacer un modelo matemático es interpretar lo mejor posible la realidad a través de ciertas fórmulas.

Por ejemplo,

Un carpintero desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe producir el próximo día para maximizar su ganancia. Cuenta con 38m2 de madera y dispone de 7, 5 hs/hombre. Se requiere de 4m y 1 hora/hombre para confeccionar cada silla; y de 9, 5m2 de madera y 1 hora/hombre para confeccionar cada mesa. Se asume que se vende todo lo que se produce y que el beneficio por silla es de $4, mientras que el beneficio por mesa es de $8, 5. ¿Cuántas sillas y mesas deben producir?

En el problema de producción planteado, podemos definir una variable x1, que medirá el número de sillas, y una variable x2, que medirá el número de mesas.

Veamos como relacionar estas variables para cumplir con las condiciones del problema.

¿Cómo decimos en fórmulas matemáticas que el máximo número de metros cuadrados que podemos usar es 38?

4 x1 + 9, 5 x2 ≤ 38

¿Cómo decimos en fórmulas matemáticas que el máximo número de horas/hombre que podemos usar es 7, 5?

x1 + x2 ≤ 7, 5

¿Cuál es la función de utilidad que tenemos que maximizar?

Max Z 4x1 + 8, 5 x2

Por ´último, el número de sillas y de mesas debe ser positivo:

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Resumiendo: tenemos un modelo de programación lineal

Tipos de Modelos Matemáticos

1. Cuantitativos y cualitativos

2. Estándares y hechos a la medida

3. Probabilísticas y determinísticos

4. Descriptivos y de optimización

5. Estáticos y dinámicos

6. De simulación y no simulación

Modelo Cualitativo y Cuantitativo

La mayor parte de los problemas de un negocio u organización comienzan con un análisis y definición de un modelo cualitativo y se avanza gradualmente hasta obtener un modelo cuantitativo.

La investigación de operaciones se ocupa de la sistematización de los modelos cualitativos y de su desarrollo hasta el punto en que pueden cuantificarse.

Los modelos cualitativos determinan de manera general como funcionan de manera específica y clara las relaciones dentro de un sistema también nos facilitan el entendimiento del funcionamiento de los procesos.

Los modelos cualitativos se aplican cuando la necesidad de interpretar una situación o un estado de cosas desde el punto de vista de las personas involucradas, una comprensión profunda de un grupo social o de una estructura social dada, contado para ello con las evidencias de una persona o de un grupo de ellas, la transformación de una situación dada, por parte de un colectivo social, la generación de teoría a partir de una data.

Cuando es posible construir un modelo matemático insertando símbolos para representar relaciones entre constantes y variables estamos ante un modelo cuantitativo. Una ecuación es un modelo de este tipo. Las formulas, las matrices, los diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos matemáticos.

El modelo cuantitativo se enfoca en la parte numérica de la investigación de operaciones casi siempre se necesita la ayuda de herramientas del campo de la estadística. En los modelos cuantitativos es necesario conocer donde se inicial el problema desde un principio, en que dirección va y que tipo de incidencia existe entre sus elementos:

• Su naturaleza es descriptiva

• Permite al investigador predecir el comportamiento del consumidor.

• Los métodos de investigación incluyen: experimentos y encuestas.

• Los resultados son descriptivos y pueden ser generalizados.

Las aplicaciones mas frecuentes para este tipo de modelos son en las grandes empresas para calcular la ventas, las perdidas, ingresos y egresos que puedan suceder en dicha entidad.

Modelo Estándar

Se llaman modelos estándar a los que solo hay que insertar o sustituir diferentes valores con el fin de obtener un valor a una respuesta de un sistema y son aplicables al mismo tipo de problemas en negocios afines.

Ejemplo:

•El cálculo de costos o gastos.

•El cálculo de las ganancias, etc

Modelos Hechos a la Medida

Se llaman modelos hechos a la medida cuando se crean modelos para resolver un caso de problema en específico que se ajusta únicamente a este problema.

Modelo Probabilístico y Determinístico

Los modelos que se basan en las probabilidades y estadísticas y que se ocupan de incertidumbres futuras se llaman probabilísticas y los modelos que no tienen consideraciones probabilísticas se llaman determinísticos el PERT, los inventarios, la programación

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