Aplicaciones De La Integral En El Calculo De Distancias

INDICE

Introducción …………………………………………………………………………….3

Aplicaciones de la Integral ………………………………………………………….4

Calculo de Áreas planas ………………………………………………………..4

Calculo de Volúmenes ………………………………………………………….4

Longitud de un arco ……………………………………………………………..5

Area de una superficie de revolución ……………………………………7

Aplicaciones de la Integral en la Física para calcular Distancias…....8

Espacio recorrido e un movimiento rectilíneo………..……………...8

Características ………………………………………………………………………9

Espacio recorrido e un movimiento rectilíneo………..……………...9

Ejemplo …………………………………………………………………….………..10

¿Cuál es la aplicación de la Integral en la Ingeniería Industrial?....12

Bibliografía ………………………………………………………………………………..13

Introducción:

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para calcular áreas, distancia y volúmenes de regiones.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativa cuando toma los valores negativos.

En los temas relacionados con la ingeniería industrial, específicamente es lo relacionado con las principales aplicaciones en la economía.

La integral sirve para sacar áreas bajo la curva. El odómetro del carro integra la velocidad de auto y obtiene la distancia recorrida x=int(o,t,v dt).

Aplicaciones de la integral

Cálculo de áreas planas:

El área de un recinto es siempre positiva mientras que la integral puede ser tanto positiva, negativa o nula. Por lo tanto, en la aplicación de la integral en el cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje 0X y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área.

Teorema (Área de una región entre dos curvas): Si f y g son funciones continuas en [a, b] y se verifica que g(x)≤f(x) para toda x que pertenezca al [a, b], entonces el área de la región limitada por la graficas de f y g, y las rectas verticales x=a y x=b, es:

Observaciones:

Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende solo de que f y g sean continuas y de que g(x) ≤ f(x).

Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje 0X.

Si, como suele ocurrir, unas veces se cumple que g(x) ≤ f(x) y otras veces que f(x) ≤ g(x), entonces el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [a, b], viene dado por la fórmula:

Cálculo de volúmenes:

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución.

Volúmenes de revolución: El método de los discos. Se trata de hallar el volumen de un cuerpo para lo cual se utiliza la siguiente fórmula. Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

Además, si se toma el eje de revolución vertical, se obtiene una fórmula similar:

Volúmenes de revolución: El método de las arandelas. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje.

Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y ω es la anchura, entonces e volumen viene dado por:

Volumen de arandela= π (R2 – r2) ω

Entonces, generalizando de forma análoga a como se hizo en el método de los discos, si tenemos dos funciones continuas f (x) y g(x) definidas en un intervalo cerrado [a, b], con 0 £ g(x) £ f (x), y las rectas x = a y x = b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los recintos de ambas funciones, es decir:

Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en cada uno de los subintervalos donde se puede aplicar el método anterior.

Longitud de un arco:

Para calcular la longitud de un arco de una curva plana, aplicamos integrales. Lo que haremos será aproximar un arco (un trozo de curva) por segmentos rectos cuyas longitudes vienen dadas por la conocida formula de la distancia.

d=√(〖(x_2-x_1)〗^2+〖(y_2-y_1)〗^2 )

Sea f una función continua y derivable con continuidad en el intervalo [a, b], y denotemos por l la longitud de su grafica en este intervalo.

Aproximamos la gráfica de por n segmentos cuyos extremos están determinados por la partición P de [a, b]:

a = x0 < x1 <… < xn-1 < xn =b

Haciendo:

Aproximamos la longitud del arco por:

Tomando el límite n →∞(‖Δ‖→0), tenemos que:

Por existir f’(x) para todo x perteneciente (xi,xi-1), el teorema del valor medio garantiza la existencia de un ci perteneciente a (xi,xi-1)tal que:

Además f’ es continua en [a, b], sabemos que √(1+[f^' (c_i )]^2 ) también es continua (y, por lo tanto, integrable) en [a, b], y tenemos:

Si la función y=f(x) representa una curva en el intervalo [a, b] entonces la longitud del arco de f entre a y b viene dada por:

Análogamente, para una curva suave de ecuación x=g(y), la longitud de arco de entre c y d viene dada por:

Área de una superficie de revolución:

Si se gira la gráfica de una función

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