Axioma Del Supremo

EL AXIOMA DEL SUPREMO

Cotas, supremos e ínfimos

La gran diferencia entre el conjunto Q de los racionales y R; el conjunto de los números reales, es que este último es un modelo para el continuo de puntos en una recta, mientras que el primero deja espacios en ella. En efecto, si a cada punto de la recta le asociamos una distancia (la del punto en cuestión al origen), hay distancias que no pueden representarse mediante números racionales, como la diagonal de un cuadrado de lado 1. Si esta longitud es representada por un número x; este debe ser positivo y, por el teorema de Pitágoras, debe satisfacer x^2 = 2.

Supongamos que el racional positivo m=n (el cual ha sido despojado de todo factor común que m y n pudiesen haber tenido) cumpliera con lo anterior.

Entonces tendríamos que m^2 = 2n^2; de lo cual se deduce que m2 es par. Pero ello implica que el propio m es par y podemos escribir m = 2k.

Reemplazando esto nos llevara a que 4k^2 = 2n^2 o, equivalentemente, que n^2 = 2k^2, n^2 es par y por tanto también lo es n: Pero entonces m y n s tendrán un factor común (el numero 2), contradiciendo lo que hablamos supuesto al principio.

Por tanto, si pensamos en el conjunto de axiomas que gobiernan el sistema de los números reales, necesitamos alguno que dé cuenta de tal diferencia.

Los axiomas de campo y de orden, que regulan la operatoria de los números reales y la forma en que esta interactúa con el orden natural entre ellos, no dan cuenta de ella pues tales axiomas son igualmente satisfechos por los racionales. El Axioma del Supremo es una forma de establecer tal diferencia. También cumplirá otro propósito: mostrarnos que, si bien los racionales no \llenan" la recta, son lo suficientemente densos como para permitirnos acercarnos a un punto de ella con tanta cercana como deseemos, mediante números racionales. Esto es lo que hacemos cuando escribimos la representación decimal de un número real. Por ejemplo, el numero 1=3 puede ser aproximado con tanta precisión como deseemos por la sucesión

0:3; 0:33; 0:333…….. De números racionales.

Para entender bien este axioma necesitamos algunos conceptos previos:

Un real a es cota superior de un conjunto A de números reales si a ¸ x; 8x 2 A:

Un real a es cota inferior de un conjunto A de números reales si a • x; 8x 2 A:

Un elemento a de un conjunto A de números reales se llama máximo de A si es cota superior de él.

Un elemento a de un conjunto A de números reales se llama mínimo de A si es cota inferior de el.

La diferencia entre cota superior y máximo de un conjunto es que el ultimo es único y debe pertenecer al conjunto. Esto no se pide de una cota superior y, además, de haber cotas superiores, hay infinitas de ellas (si a es cota superior del conjunto A entonces cualquier numero b > a también lo es)

De

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