Cálculo de áreas planas

Cálculo de áreas planas

es una función continua, representamos por la región del plano comprendida entre la curva , el eje de abscisas y las rectas , . Como sabes, el área de dicha región viene dada por (no suponemos que sea positiva). Es interesante interpretar la integral que proporciona el área de la siguiente forma. Observa que es la longitud del segmento intersección de con la recta vertical que pasa por , es decir, es la longitud de la sección vertical de por el punto , y el área de la región es igual a la integral de las longitudes de sus secciones. Intuitivamente: integrando longitudes obtenemos áreas. Como el área es invariante por rotaciones, este resultado es también válido si consideramos secciones por rectas paralelas a una recta cualquiera dada. Deducimos así el siguiente resultado

Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos:

Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos:

1. Dibuje las curvas dadas.

2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración.

3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo.

4. Defina la integral o las integrales para él área.

5. Evalúe la integral definida.

Las propiedades básicas de la derivada son:

La derivada de una suma de funciones es la suma de sus derivadas. Es decir, la derivada de 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) es igual a

 〖𝑧^′=𝑓〗^′ (𝑥)+𝑔′(𝑥)

La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. Es decir:

〖𝑧^′=𝑘∙𝑓〗^′ (𝑥)

Estas dos propiedades son muy útiles para determinar, por ejemplo, la derivada de un polinomio, ya que un polinomio no es otra cosa que una suma de monomios de la forma 〖𝑎𝑥〗^𝑛. Por ello, para hallar la derivada de cualquier polinomio es suficiente conocer las derivadas 𝑥^𝑛

La derivada de un producto de funciones se calcula de la siguiente manera: si z(𝑥)=𝑓(𝑥)∙𝑔(𝑥), su derivada es igual a

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