Calculo De Areas

CÁLCULO Y TRAZOS DE COMPONENTES DE LA GEOMETRÍA.

ANGULOS

MEDICIÓN

Para medir los ángulos se emplean fundamentalmente dos sistemas: el que s utiliza como unidad el grado sexagesimal y el que se utiliza como unidad el radical.

El grado sexagesimal se define como cada una de las 90 partes iguales en que puede dividirse un ángulo recto. Un grado sexagesimal se representa por 1º y, a su vez, se subdivide en 60 partes iguales que se denominan minutos; en un minuto de grado sexagesimal se representa por 1’ y se tiene que 1º=60’. Por su parte, los minutos se dividen también en 60 partes iguales llamadas segundos; un segundo se representa por 1”, de modo que 1’=60 y 1º=3600. El hecho que las unidades se dividan en 60 pares es la razón por la que el sistema se denomina sexagesimal. Obsérvese que los cuatro ángulos rectos en dos rectas perpendiculares dividen el plano mide, conjuntamente, 360; un ángulo llano medirá 180º y los ángulos convocados medirán mas de 180º. El otro sistema de medida de un ángulo empleado habitualmente utiliza una unidad asociada a una longitud. Dado un ángulo cualquiera de vértice O, supóngase trazado con centro en O y con radio de longitud r un arco de circunferencia que corta a los lados del ángulo en los puntos Ay B: puede demostrarse que a relación entre la longitud l del arco de extremos A’ y B’, determinando sobre ella por los lados del ángulo, mantiene con longitud r’ la misma relación. Esto permitedefinir la medida de un ángulo expresada en radianes como la medida de la longitud del arco que se obtiene al tomar como unidad la longitud del arco que se obtiene al tomar como unidad la longitud del radio. Ello equivale a definir un radian como el ángulo que, sobre cualquier circunferencia trazada con centro en su vértice, determina un arco cuya longitud es igual a la del radio de dicha circunferencia. Si l es la longitud del arco y r la del radio, la medida del ángulo en radiantes vendrá dada por el cociente l/r. un ángulo llano determina, sobre cualquier circunferencia con centro en su vértice, un arco de longitud igual ala mitad de la circunferencia, que es igual a 2πr, si r es la longitud del radio; en consecuencia, la medida n radianes de un ángulo llano es π, mientras que la mdida en radianes de un ángulo recto es π/2. A partir de aquí se deduce que la proporción que permite convertir los grados sexagesimales en radianes, y viceversa, es: (medida en radianes )/(medida en grados sexagesimales)=p/180

CLASIFICASION

Ángulo convexo

Se llama Angulo convexo (RNM) ̂ a la intervención del semiplano de borde NM, que contiene el punto R, y el semiplano de borde NR, que contiene el punto M. Se usa la notación (RNM) ̂ cuando el ángulo está determinado por tres puntos; en tal caso se nombra en el medio la letra que corresponde a su

vértice. Se puede notar un ángulo con una sola letra colocada en su vértice (Â) o bien con una letra griega colocada en su interior (ά). También se puede designar mediante la utilización de un punto de cada semirrecta a la que pertenecen sus lados (ŜL).

Angulo cóncavo

Es el ángulo que se obtiene si consideramos la unión de los semiplanos anteriores.

Angulo llano

Cuando los lados de un ángulo son dos semirrectas, el ángulo se llama llano. El ángulo coincide entonces con el semiplano cuyo bordees l recta determinada por sus lados.

Ángulos rectos

Sean dos rectas de origen común O y supongámoslas prolongadas hasta forma dos rectas, a y b que se cortan en O y que dividen al plano en cuatro regiones α,β,γ y ε, cada una de ellas correspondiente a un ángulo. Cuando esos cuatro ángulos son iguales se dice que cada uno de ellos es un angulo recto y que sus lados son perpendiculares. Por extensión las rectas a y b se llaman también perpendiculares.

Ángulos oblicuos

Las rectas que se cortan formando ángulos desiguales se llaman oblicuos se clasifican en:

Agudos: si son menores que un recto

Obtuso si son mayores que un recto

Ángulos consecutivos

Son los pares de ángulos que tienen un lado común y ningún otro mas.

(AOB) ̂ y (BOC ) ̂son consecutivos

(BOC) ̂ y (COD) ̂ son consecutivos

(COD) ̂ y (DOE) ̂ son consecutivos

Ángulos adyacentes

Son los que tienen un lado en común y los otros dos son semirrectas opuestas.

Ángulos

complementarios.

Son dos ángulos cuya suma es igual a un recto o sea 90º.

Ángulos complementarios

Son dos ángulos cuya suma es igual a dos rectos o sea180º. Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los lados del otro.

OPERACIONES

Suma de ángulos

Al igual que con segmentos, para realizar la suma de ángulos consecutivos al ángulo que tiene por lados los lados no comunes de los ángulos dados, y cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los ángulos dados. Si los ángulos que se desean sumar no son consecutivos, basta con trasladarlos en forma consecutiva recordando en método para construir un ángulo igual a otro. Para realizar la suma de ángulos no consecutivos se trazar primero una semirrecta, se marca con el compas un arco con centro en el origen de dicha semirrecta, y con el mismo radio, se trazan arcos con centro en los vértices de los ángulos α,β y γ. Se toma la medida de la abertura del ángulo α y se trasforma a partir del punto donde el arco corta a la semirrecta; después se trasporta la medida de la apertura de β y luego de γ. Uniendo el último punto con el punto de origen de la semirrecta se obtiene el ángulo que suma de los anteriores.

Diferencia de ángulos

Dando dos ángulos ABC y MNR, con ABC mayor que MNR, para hallar la diferencia entre el mayor y el menos se construye unasemirrecta de origen O y sobre ella se trasporta la medida del ABC y luego MNR, de manera que BC coincidan con NR haciendo coincidir el extremo O con los vértices B y N; MOA es el ángulo diferencial. El ángulo diferencial es el formado por los lados no comunes de los ángulos dados y su amplitud es igual a la diferencia que existe entre la amplitud del minuendo y la del sustraendo.

División de un ángulo en partes iguales.

Si se desea dividir un ángulo en 2,4,8,6…. Partes iguales, se utiliza en forma sucesiva el trazado de la bisectriz.

Como sacar la bisectriz.

Construir una semirrecta r. Construir otra semirrecta s concurrente a la anterior. En el punto de concurrencia trazar una circunferencia cualquiera c. Nos quedamos con el punto de corte de las dos semirrectas con c (A y B). Desde A

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