CLASES UNIVERSITARIOS CALCULO FÍSICA ALGEBRA 78935510(WHATSAPP)-2225389.

ECUACIONES NO LINEALES -  EJERCICIOS RESUELTOS

[pic 1]

Despejamos la variable x en la primera ecuación:   x + y = 10    ⇔    x = 10 - y

Sustituimos en la segunda ecuación:

x2 + y2 = 68    ⇒    (10 - y)2 + y2 = 68    ⇒    100 - 20y + y2 + y2 = 68    ⇒    2y2 - 20y + 32 = 0

Simpificamos la ecuación dividiendo entre   2 :   y2 - 10y + 16 = 0

        y =​ - (−10) ± (−10)2 - 4⋅1⋅16√2⋅1 = 10 ± 36√2 =​ 10 ± 62 =​ {y = 8​y = 2

Si y = 8    ⇒    x = 10 - y = 10 - 8 = 2

Si y = 2    ⇒    x = 10 - y = 10 - 2 = 8

El sistema tiene dos soluciones:      x1 = 2   ,   y1 = 8    ;    x2 = 8   ,   y2 = 2

[pic 2]

Despejamos la incógnita   y   de la primera ecuación y sustituimos su valor en la segunda ecuación:

x = 12 + 3y

(12 + 3y)2 - y2 = 7

144 + 72y + 9y2 - y2 = 7

8y2 + 72y + 137 = 0

A continuación resolvemos la ecuación de segundo grado:

[pic 3]

Por último sustituimos   y1   e   y2   en la primera ecuación del sistema:

[pic 4]

Por lo tanto las soluciones son:

[pic 5]

[pic 6]

En primer lugar desarrollamos la igualdad notable de la primera ecuación:

{x2 + 2xy + y2 = 289x2 + y2 = 169

Multiplicamos la segunda ecuación por   - 1  y aplicamos el método de reducción:

[pic 7]

Despejamos la incógnita   y   y la sustituimos en la segunda ecuación del sistema:

y = 1202x = 60xx2 + (60x)2 = 169x2 + 3600x2 = 169

Multiplicamos cada término de la expresión por   x2 :

x4 + 3600 = 169x2

x4 - 169x2 + 3600 = 0

Para resolver la ecuación bicuadrada realizamos un cambio de variable:

x2 = t

Resolvemos la siguiente ecuación de segundo grado:

t2 - 169t + 3600 = 0

[pic 8]

Deshacemos el cambio de variable para hallar las soluciones para   x :

[pic 9]

Despejando la incógnita   y :

y = 1202x = 60x

Por lo tanto las soluciones del sistema son:

[pic 10]

[pic 11]

Resolvemos el sistema mediante el método de sustitución:

      x + y = 7    ⇔    y = 7 - x

      1x + 1y = 712        ⇒        1x + 17 − x = 712

      1x + 17 − x = 712     −→−−−−−−−−−−−−−−−−m.c.m.(x , 7 - x,12) = 12x(7 - x)   12(7 − x) + 12x  =  7x(7 − x)      ⇔

      ⇔      84 − 12x + 12x = 49x − 7x2     ⇔      7x2 − 49x + 84 = 0

Simplificamos la ecuación dividiendo entre  m.c.d.(7,49,84) = 7

      7x2 - 49x + 84 = 0    ⇔    x2 - 7x + 12 = 0

      x = − (−7) ± (−7)2 - 4⋅1⋅12√2⋅1 = 7 ± 1√2 = ​7 ± 12 =​{ x1 = 4 x2 = 3

Sustituimos los valores encontrados para calcular el valor de y :

Si  x = 4  , entonces:      y = 7 - x = 7 - 4 = 3

Si  x = 3  , entonces:      y = 7 - x = 7 - 3 = 4

Los números pedidos son 3 y 4.

[pic 12]

Despejamos la variable y de la segunda ecuación:

      xy = 13    ⇔    x = 13 y    ⇔    3x = y

Sustituimos en la primera ecuación y resolvemos:

      x · y = 1200    ⇒    x · (3x) = 1200    ⇒    3x2 = 1200    ⇒ x2 = 400    ⇒    x = 20

...