Calculo Diferencial

En el conjunto de los números naturales hay una relación de orden, dado un número

natural distinto de cero, este tiene un antecesor y un sucesor, esta idea se hereda al

conjunto de los números enteros y este orden a su vez es heredado al conjunto de los

números racionales. En el caso de los números reales, el concepto de orden se obtiene

por medio de la siguiente definición, esta engloba el orden en los sistemas numéricos

antes mencionados.

Axiomas de orden: Existe un subconjunto P de que satisface las siguientes

condiciones:

(i). Dado x se tiene una y solo una de las siguientes condiciones:

xP ó x  0 ó xP.

(ii). Dados x, yP se tiene que x  y, xyP.

El axioma (i) indica que el conjunto es la unión disjunto de tres conjuntos

P{0}P' donde P' es el conjunto de los inversos aditivos de P, esta propiedad

se conoce como la tricotomía. La propiedad (ii) dice que P es cerrado bajo suma y

productos. Los elementos del conjunto P son llamados positivos, lo que se denotará

como x  0 y los elementos de P' son llamados negativos, los cuales se denotan por

x  0.

Los axiomas de orden permiten comparar números reales del siguiente modo: para cada

par x, y se dice que x es mayor que y ó que y es menor que x si y sólo si

x  yP o equivalentemente x  y  0 , lo anterior se denota por x  y ó y  x

respectivamente. Como consecuencia la ley de tricotomía se enuncia de la siguiente

forma: para cada par x, y se tiene una y sólo una de las siguientes condiciones:

x  y ó x  y ó x  y .

El Lema 1.1.6. Afirma que el producto de un positivo con un negativo y viceversa es

negativo y el producto de dos números negativos es positivo, lo anterior se le conoce

como la regla de los signos. Aplicando esto hay que observar que 111 (1)(1) lo

que implica que 1 0.

El siguiente paso es presentar cómo interactúa la estructura algebraica de con la

estructura de orden de , lo cual se presenta en el siguiente resultado:

Lema 1.1.9. Para cuales quiera x, y, z se tiene lo siguiente:

(a) Si x  y y y  z entonces x  z .

(b) Si x  y y z  0 entonces xz  zy

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