Calculo I Diferencial

Hasta ahora hemos visto el cálculo de las integrales. Ahora veremos que la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., con gran aplicación en diversas ramas de las ciencias naturales, sociales y la ingeniería. Abordaremos algunas de las más importantes de acuerdo a su plan de estudios.

Determinación del trabajo

Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido, es decir:

W = F× x

Sin embargo, cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple, pues la fuerza dependerá de la posición que ocupe el objeto sobre el cual actúa. Si conocemos la función que relaciona a la fuerza con la posición, F = f(x) (dejando para su estudio personal el planteamiento formal de dividir el intervalo en que actúa la fuerza en segmentos, etc.), podemos plantear entonces que:

El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke indica que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para producir una elongación de x unidades, está dada por la expresión F = kx, donde k es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del calibre (grosor), del alambre, de la temperatura, etc.

Ejemplo: Para producir una elongación de 0.01 m en un resorte de hacer se necesita aplicar una fuerza de 0.1 newton. Determine el trabajo necesario para comprimir el resorte 2 cm.

La determinación de la constante en la ley de Hooke se reduce a:

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