CALCULO I

Susana Rubín Rivero/ Derivada parte uno 1

Derivada

Supón una curva y = f (x), localiza dos puntos sobre ella, uno P de coordenadas P(a, f (a)) y otro punto

Q(x, f (x)), si se traza una recta de P a Q obtenemos una secante, con pendiente

secante

f (x) f (a)

m

x a

−

=

−

Si se acerca el punto Q al punto P haciendo que x se acerque al valor de x = a y se toma el límite de este

cociente, se tiene entonces la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P(a, f(a)).

tangente

lim f (x) f (a)

m

x a x a

−

=

® −

Por otro lado, haciendo que el incremento entre P y Q se llame h, es decir h = x − a, las coordenadas de Q

son entonces Q (a+h, f(a+h)); cuando x®a , entonces h®0 y el límite anterior queda

tangente

lim ( ) ( )

0

f a h f a

m

h h

+ −

=

®

Definición. La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P(a, f (a)) es la recta que pasa por P con

pendiente mtangente. Conocida también como la derivada de una función f en un número a, f’(a):

tangente

lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

'( )

0

f x f a f a h f a

m f a

x a x a h h

− + −

= = =

® − ®

siempre que el límite exista.

Ejemplo

Encuentra una ecuación de la recta tangente a y= 1/x en el punto (2, ½):

1 1 2 (2 )

lim (2 ) (2) lim 2 2 lim 2(2 ) '(2)

0 0 0

h

f h f h h m f

h h h h h h

− +

−

+ − + + = = = =

® ® ®

lim 2 2 lim 1 1 1

0 2(2 ) 0 2(2 ) 2(2 0) 4

h

h h h h h

− − − −

= = = = −

® + ® + +

Con esa pendiente y el punto (2, ½) usando la ecuación punto pendiente de la recta se tiene:

1 1

2

4 2

y x



− = −  − 

 

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1

2

4 8

x

y = − + +

17

4 8

x

y = − +

La Derivada como Razón de Cambio

Siempre que exista una cantidad y que depende de otra cantidad x, cada vez que la x cambie, la y cambiará.

Al cociente de éstas diferencias se le llama razón de cambio promedio:

Razón de Cambio Promedio de y con respecto a x 2 1

2 1

y f (x ) f (x )

x x x

D −

=

D −

Al hacer que Dx®0 , entonces se tiene la razón de cambio instantánea:

Razón de Cambio Instantánea de y con respecto a x 2 1

2 1

lim lim ( ) ( )

0 0

y f x f x

x x x x x

D −

=

D ® D D ® −

La Derivada como Función

Si en la ecuación de f ’(a) se hace que el número a varíe, sustituimos a por x y tenemos entonces

lim ( ) ( )

'( )

0

f x h f x

f x

h h

+ −

=

®

Siempre que se tenga cualquier número x para el que exista éste límite, a f ´ (x) se le llama la derivada de f.

Se obtendrá f´(x) que es una nueva función.

Se puede interpretar f´ (x) geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el

punto (x, f(x)).

Existen varias notaciones usuales para la derivada si y = f(x), entonces

'( ) ' ( ) ( ) x

dy df d

f x y f x D f x

dx dx dx

= = = = =

Definición: Se dice que una función f es derivable en un punto x = a siempre que exista f ´(a).

Definición Se dice que la función f es derivable en un intervalo abierto I si existe f ´(a) "xÎI ( para toda x

en el intervalo), es decir si es derivable para todo número del intervalo.

Susana Rubín Rivero/ Derivada parte uno 3

Tres Maneras en que una función no es derivable en un punto:

1. En donde las funciones tienen “picos” Por ejemplo el pico del valor absoluto, o de algunas funciones

con exponentes racionales.

2. En donde se presentan rectas tangentes verticales (como en algunos cambios de concavidad)

3. En discontinuidades.

Ejemplo: Derive la función valor absoluto

si 0

( )

si 0

x x

f x x

x x

− <

= = 

³

Para x < 0 se tiene

lim lim ( ) lim

( ) 1 1

0 0 0

x h x x h x

f x

h h h h h

+ − − − − −

¢ = = = − = −

® ® ®

Para x > 0 se tiene

lim lim lim

( ) 1 1

0 0 0

x h x x h x

f x

h h h h h

+ − + −

¢ = = = =

® ® ®

Como justo en x = 0 cambia la regla de correspondencia, el límite debe calcularse por la izquierda y por la

derecha.

lim 0 0

(0)

0

h

f

h h

+ −

¢ =

®

Límite por la derecha:

lim 0 0 lim lim lim

1 1

0 0 0 0

h h h

h h h h h h h

+ + + +

+ −

= = = =

® ® ® ®

Límite por la izquierda:

lim 0 0 lim lim lim

1 1

0 0 0 0

h h h

h h h h h h h

− − − −

+ −

= = − = − = −

® ® ® ®

Como en x = 0 los límites laterales son distintos, no existe el límite en x = 0, no existe

lim 0 0

(0), porque no existe

0

h

f

h h

+ −

¢

®

que es donde la gráfica de la función valor absoluto tiene un

“pico”.

Derivadas Sucesivas:

Una vez que se obtiene f ´(x), se trata de una nueva función, que se puede derivar nuevamente y así se puede

obtener una nueva función que se llama la segunda derivada de f es decir (f´ (x))´= f ´´(x) =

2

2

d dy d y

dx dx dx



  =

 

.

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Si seguimos derivando obtenemos

2 3

2 3

( )

d d y d y

y f x

dx dx dx



¢¢¢ = ¢¢¢ =   =

 

3 4

(4) (4)

3 4

( )

d d y d y

y f x

dx dx dx



= =   =

 

y de aquí en adelante ( ) ( ) (

...