Calculo I Pendientes E Intersecciones

PROBLEMAS 1.3

En los siguientes problemas, halle la pendiente (si es posible) de la recta que pasa por el par de puntos dado.

1.

(2,-3) y (0,4)

m=(y-y_1)/(x-x_1 )

m=(-3-(4))/(2-0)=(-7)/2=-7/2

R m=-7/2//

2.

(-1,2)y (2,5)

m=(y-y_1)/(x-x_1 )

m=(2-5)/(-1-2)=(-3)/(-3)=1

R m=1//

9.

En el siguiente problema, halle la pendiente y las intersecciones de la recta mostrada. Luego determine una ecuación para la recta.

Deduciendo el gráfico podemos decir que los puntos de intersección son:

P_1=intersección eje x=(-4,0)

P_2=intersección eje y=(0,2.5)=(0,5/2)

Entonces tenemos:

m=(y-y_1)/(x-x_1 )

m=(0-(5/2))/(-4-0)=(-5/2)/(-4)=5/8

Para la ecuación de la recta tenemos:

y-y_1=m(x-x_1 )

y-0=5/8[x-(-4)]

y=5/8 x+5/8 (4)

y=5/8 x+5/2

R m=5/8 //

Intersección eje x=(-4,0) //

Intersección eje y=(0,5/2)//

y=5/8 x+5/2//

PROBLEMAS 1.4

5. INGRESOS POR VENTAS.- Cada unidad de cierto artículo cuesta p=35x+15 centavos cuando se producen x unidades del artículo. Si a ese precio se venden las x unidades en su totalidad, exprese el ingreso derivado de las ventas como una función de x.

Solución:

Sea. p=35x+15=Precio del articulo en centavos

x=Todas las unidades producidas

R=Ingreso por las ventas

Entonces:

R=x(p)=x(35x+15)

R. R=x(35x+15) //

15. CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO.- En ausencia de restricciones ambientales, la población crece a una tasa proporcional a su tamaño. Exprese la tasa de crecimiento demográfico como una función del tamaño de la población.

Solución:

Sea. P=Tamaño de la población

R=Rapidez de crecimiento de la población

k=La constante de proporcionalidad →k≠0

Entonces:

R=(Constante de proporcionalidad)(Tamaño de la población)

R=kP

R. R=kP //

PROBLEMAS 1.5

En los siguientes problemas halle el límite indicado, si existe.

11.

〖lim〗┬(x→3)⁡〖(x-1)^2 (x+1)〗

lim┬(x→3)⁡〖(3-1)^2 (3+1)=(2)^2 (4)=4×4=16〗

R. 16 //

19.

〖lim〗┬(x→5)⁡〖(x^2-3x-10)/(x-5)〗

Factoramos x^2-3x-10 y tenemos:

lim┬(x→5)⁡〖(x-5)(x+2)/((x-5))〗

lim┬(x→5)⁡〖(x+2)=5+2=7〗

R. 7 //

23.

〖lim〗┬(x→-2)⁡〖(x^2-x-6)/(x^2+3x+2)〗

Factoramos tanto numerador como denominador y tenemos:

lim┬(x→-2)⁡〖((x-3)(x+2))/((x+1)(x+2))〗

lim┬(x→-2)⁡〖(x-3)/(x+1)=(-2-3)/(-2+1)=(-5)/(-1)〗=5

R. 5 //

En los siguientes problemas halle lim┬(x→+∞)⁡〖f(x)〗 y lim┬(x→-∞)⁡〖f(x)〗. Si el valor del límite es infinito, indique si éste es +∞ o -∞.

29.

f(x)=(1-2x)(x+5)

Si x→+∞ tenemos:

〖lim┬(x→+∞) (1-2x)(x+5)=〗⁡〖1x+5-2x^2-10x=5-9x-2x^2 〗

lim┬(x→+∞)⁡〖5-lim┬(x→+∞) 9x-lim┬(x→+∞) 2x^2 〗

5-∞-∞=-∞

De esto deducimos que mientras más grande es x más pequeño se hace el resultado, entonces:

〖lim┬(x→+∞) (〗⁡〖1-2x)(x+5)=-∞〗

Luego si x→-∞ tenemos:

〖lim┬(x→-∞) (1-2x)(x+5)=〗⁡〖1x+5-2x^2-10x=5-9x-2x^2 〗

lim┬(x→-∞)⁡〖5-lim┬(x→-∞) 9x-lim┬(x→-∞) 2x^2 〗

5+∞-∞=-∞

De esto deducimos que mientras más pequeño es x, más pequeño se hace el resultado por lo que x^2 si es un número grande negativo, este se hace positivo y al multiplicar por -2 se vuelve negativo sin importar que -9x se haga positivo, así por ejemplo:

Si x=-1000000

5-9(-1000000)-2(-1000000)^2=5+9000000-2000000000000=-1999990999995

Entonces:

〖lim┬(x→-∞) (〗⁡〖1-2x)(x+5)=-∞〗

R. -∞;-∞ //

31.

f(x)=(x^2-2x+3)/(2x^2+5x+1)

Si x→+∞ tenemos:

lim┬(x→+∞)⁡〖(x^2-2x+3)/(〖2x〗^2+5x+1)〗

lim┬(x→+∞)⁡〖(x^2/x^2 -2x/x^2 +3/x^2 )/((2x^2)/x^2 +5x/x^2 +1/x^2 )〗=(1-2/x+3/x^2 )/(2+5/x+1/x^2 )=(1-0+0)/(2+0+0)=1/2

lim┬(x→+∞)=1/2

Luego si x→-∞ tenemos:

lim┬(x→-∞)⁡〖(x^2-2x+3)/(〖2x〗^2+5x+1)〗

lim┬(x→-∞)⁡〖(x^2/x^2 -2x/x^2 +3/x^2 )/((2x^2)/x^2 +5x/x^2 +1/x^2 )〗=(1-2/x+3/x^2 )/(2+5/x+1/x^2 )=(1-0+0)/(2+0+0)=1/2

lim┬(x→-∞)=1/2

R. 1/2;1/2 //

35.

f(x)=(3x^2-6x+2)/(2x-9)

Si x→+∞ tenemos:

lim┬(x→+∞)⁡〖(3x^2-6x+2)/(2x-9)〗

lim┬(x→+∞)⁡〖(〖3x〗^2/x-6x/x+2/x)/(2x/x-9/x)〗=(3x-6+0)/(2-0)

lim┬(x→+∞)⁡〖3/2 x-6/2=〗 3/2 x-3

Como límite de 3/2 x cuando x→+∞ va ha ser +∞ decimos que:

lim┬(x→+∞)⁡〖(3x^2-6x+2)/(2x-9)〗=+∞

Luego si x→-∞ tenemos:

lim┬(x→-∞)⁡〖(3x^2-6x+2)/(2x-9)〗

lim┬(x→-∞)⁡〖(〖3x〗^2/x-6x/x+2/x)/(2x/x-9/x)〗=(3x-6+0)/(2-0)

lim┬(x→-∞)⁡〖3/2 x-6/2=〗 3/2 x-3

Como límite de 3/2 x cuando x→-∞ va ha ser -∞ decimos que:

lim┬(x→-∞)⁡〖(3x^2-6x+2)/(2x-9)〗=-∞

R. +∞;-∞ //

PROBLEMAS 1.6

11. En el siguiente problema, halle los límites laterales. Si el valor del límite es infinito, indique si es +∞ o -∞.

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