CALCULO VECTORIAL, DERIVACION, NOTACION Y PENDIENTE

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Universidad Virtual CNCI

Alumno

Julián Alexander Juárez Alvarado

(AL062221)

Carrera

Ing. en Tecnologías Computacionales

Asignatura

M12 Cálculo Diferencial IN A

Tema

Ensayo “Derivación”

Docente

Carlos Mier Galindo

Fecha de entrega

Domingo 20 de diciembre de 2020

Lugar

Poza Rica de Hidalgo, Veracruz, México

Introducción

El propósito de este ensayo es el analizar la derivación, así como sus procedimientos o análisis matemático para la derivación de funciones, para comprender sus diferencias entre su diversidad de operaciones y tipos de derivación, así como sus reglas que las rigen.

Las derivaciones que se analizarán a continuación en el presente trabajo tienen relaciones unas con otras, así que algunos de los temas tratados en los distintos apartados no están plasmados de manera lineal, sino un conjunto de información de manera que sea fácil para el lector entenderlos poco a poco, de este modo, se le incita al lector que para comprenderlo de mejor manera se haga una segunda lectura para una mejor comprensión, debido a lo anterior comentado.

Las derivaciones a continuación van complementándose unas con otras, por lo que todas las notaciones y puntos han sido las mismas para no confundir al lector.

Resumen

El ensayo abre con las derivaciones como razón de cambio ya que nos introduce a la derivación y a sus clasificaciones.

Posteriormente la derivada como pendiente de una curva, señalando que el “desplazamiento” o comportamiento de una función curva se relaciona con las funciones trigonométricas.

Para reforzar y comprender los temas anteriores se explica resumidamente la pendiente.

A continuación de esto, observamos la derivación en funciones. Se nos muestra como la derivación de una función se aplica a más de un solo momento, sentando las bases de las funciones comportándose como vectores.

Para concluir se explica sobre las diferentes notaciones de la derivación, que suelen usar los diferentes autores. o bien, podría usar uno mismo.

Derivación

Derivada como razón de un cambio

Para entender el concepto de derivación como razón de cambio, debemos saber que con razón de cambio se refiere a la medida en el cual una variable se modifica con relación a otra.

En ingeniería lo más común en una razón de cambio es la velocidad, que no es otra cosa que el dividiendo de una distancia sobre tiempo.

Se tiene dos tipos de razón de cambio: la promedio y la instantánea, las cuales podemos describir como:

Razón de cambio promedio: Es la estimación de los promedios de cambios en una trayectoria (una aproximación).

Razón de cambio instantánea: También llamada segunda derivada y refiere a la velocidad que cambia una pendiente de una curva en un momento.

En una función y = f(x) para un valor de la variable independiente x, se da un incremento ∆x y se calcula el correspondiente incremento ∆y de la variable dependiente, al dividir ∆y entre ∆x se obtiene la razón de cambio promedio de y con respecto a x.

Entonces  = razón de cambio.[pic 5]

En ingeniería x en la derivación como razón de cambio tiende a ser comúnmente el tiempo, por eso podemos ver expresiones como  = , donde t es el tiempo.[pic 6][pic 7]

En pocas palabras, se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio (en caso de no estar relacionadas se asume una razón de cambio 0).

Para comprender la derivación como razón de cambio debemos entender que si en una función y= f(x), x tiene un incremento, entonces la razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo x, x + ∆x se define como

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Entonces la derivada de una función se puede obtener a partir de la definición:

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Suponiendo que y es una cantidad que depende de otra cantidad x, se tiene una función de x y se escribe como y = f(x). Si x cambia de x1 a x2, por lo tanto, el cambio en x (incremento en x (∆x)) es

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y el cambio correspondiente en y es

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El cociente de diferencias es

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se le llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo (x1, x2) y se interpreta como la pendiente de la línea secante PQ.

Considerando la relación de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1, por tanto, hacer que ∆x tienda a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón instantánea de cambio de y con respecto a x en x = x1, lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) en P (x1, f(x1))

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Derivada como pendiente de una curva

Para encontrar la pendiente en una curva en un punto se hace uso de la recta tangente de una curva en un punto.

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