Campo Electrostatico en el vacio

CAMPO ELECTROSTÁTICO EN EL VACÍO

Vector de posición.

Un vector posición es un vector que representa la posición de un punto en el espacio con respecto a un origen; también representa la distancia que separa dichos puntos. El vector posición OP une el origen de coordenadas (0, 0) con un punto P del espacio.[pic 1]

Para su notación usaremos lo siguiente:

Sean A y B dos puntos en el espacio, cuyas coordenadas son: A = (Ax, Ay) ; B = (Bx, By) ;

En el espacio (en un plano 2D), las coordenadas del vector posición AB son las coordenadas del extremo B menos las coordenadas del origen A, es decir:

AB = (Bx – Ax, By – Ay)

También las podemos expresar de esta manera:[pic 2]

AB = (Bx – Ax) î + (By – Ay) ĵ

En        el        espacio        tridimensional        (3D),        las componentes del vector posición serán:

AB = (Bx – Ax, By – Ay, Bz – Az)

O

AB = (Bx – Ax) î + (By – Ay) ĵ + (Bz – Az) k Generalmente,        sobretodo        en        Física,        el vector posición se representa con la letra “r”.

El vector posición de un punto P con respecto al origen, es representado como: OP = (x, y, z)

Teorema de Helmholtz.

El teorema nos dice es que, si conocemos las ecuaciones de un campo vectorial, es decir, su divergencia (∇ ∙ 𝐹(𝑟) = 𝑠(𝑟)) y su rotacional (∇ × 𝐹(𝑟) =[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

𝑐(𝑟)) entonces podemos escribir la función que representa al campo vectorial[pic 8][pic 9]

como el menos gradiente de una función escalar más el rotacional de una función vectorial:[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

𝐹(𝑟) = −∇𝜑(𝑟) + ∇ × 𝐴(𝑟)

Donde:

𝜑(𝑟) = 1[pic 15][pic 16]

𝑠(𝑟′)

∫[pic 17][pic 18]

[pic 19]

𝑑𝑣

4𝜋

Y

1

[pic 20]

𝐴(𝑟) =                ∫ 4𝜋 𝑣[pic 21]

𝑣    𝑅(𝑟,𝑟′)

[pic 22]

𝑐 (𝑟′)

𝑅(𝑟, 𝑟′) 𝑑𝑣[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Bajo las condiciones de que

∇ ∙ 𝑐(𝑟) = 0[pic 27][pic 28]

Y

𝑐(𝑟) ≠ 0   Y 𝑠(𝑟) ≠        en v’[pic 29][pic 30][pic 31]

De acuerdo con el teorema de Helmholtz, los campos vectoriales se clasifican de la siguiente manera:

1.- CONSERVATIVO, cuyas ecuaciones de campo representativas son:

∇ ∙ 𝐹 = 0        ∇ × 𝐹 ≠ 0

Su característica es que el campo vectorial se puede expresar como el menos gradiente de una función escalar:[pic 32]

𝐹 = −∇𝜑

Por lo que su integral de línea es cero: ∮𝑆

...