Cinematica

TIPOS Y ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES MOVIMIENTOS (CINEMÁTICA)

Unidad 12

CONTENIDOS

1.- Definición de Cinemática.

2.- Clasificación de los movimientos:

3.- Movimiento rectilíneo uniforme.

3.1. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Caída libre.

4.- Composición de movimientos:

4.1. Dos movimientos MRU perpendiculares.

4.2. Tiro horizontal.

4.3. Tiro oblicuo.

5.- Movimiento circular uniforme.

6.- Movimiento circular uniformemente acelerado. 

DEFINICIÓN DE CINEMÁTICA

Es la ciencia que estudia el movimiento sin preocuparse de las causas que lo producen, es decir, de las fuerzas.

Las únicas magnitudes que se usan son, pues, el espacio y el tiempo y las derivadas de ambas, es decir, la velocidad y la aceleración.

Para medir el espacio definiremos un sistema de referencia y el vector posición r (r).

TIPOS DE MOVIMIENTOS

Según sean “”at “y “an” los movimientos se clasifican en:

Variación en “at”

• at = 0; Dv = 0, es decir, la rapidez es constante Þ Mov. Uniforme.

• at = k; es decir, la rapidez varía proporcionalmente al tiempo

Þ Mov. Uniformemente acelerado.

• at ¹ k; es decir, la rapidez no es directamente proporcional al tiempo

Þ Mov. Variado.

Variación en “an”

• an = 0 (porque R= µ); no hay variación en la trayectoria Þ Mov. Rectilíneo.

• an ¹ 0 y R = k; la trayectoria es circular Þ Mov. Circular.

• an ¹ 0 y R ¹ k ; la trayectoria cambia continuamente de radio

Þ Mov. Curvilíneo.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)

Se cumple que a = 0, es decir, at = 0 ; an = 0

Método práctico de integración de polinomios

Antes de desarrollar las ecuaciones del movimiento vamos a ver como se integran polinomios.

Ejemplo:

Integrar: vx = 5 t3 + 4 t2 – 3 t + 2 = dx/dt

x = ∫ dx = ∫ vx dt = 5/4 t4 + 4/3 t3 – 3/2 t2 + 2 t + k

En general, sea y = a • xn + b • xn–1 + ... + f • x + g

de forma que y = dz/dx. Se puede obtener “z” separando las dos diferenciales e integrando:

z = ∫ dz = ∫ y dx

z = ∫ (a • xn + b • xn–1 + ... + f • x + g)•dx

z =•a• xn+1/(n+1) + b• xn /n + ... + f•x2/2 + gx + k

Ecuación del movimiento.

Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y no depende del tiempo (no cambia ni el módulo ni la dirección), ya que sólo la derivada de una constante da 0.

dv = a • dt. Integrando: v = ∫ dv = ∫ a • dt = k

Para obtener la posición se vuelve a integrar:

Ecuación vectorial: r = ∫ dr = ∫ v •dt = v • t + r0 (r0 = constante)

Ejemplo:

Sea v = 3 i m/s Þ a = 0. ¿Cuál será la ecuación vectorial de “r” en función de “t”.

r = ∫ (3 i) m/s • dt = (3 t + r0) i m

Ejercicio:

Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?

r = ∫ dr = ∫ v • dt = v • t + r0 = [(3 i + 4 j –6 k) • t + (2 i + k)] m

r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m

r (t = 2 s) = [(3 • 2 + 2) i + 4 •2 j + (–6 •2 + 1) k] m = (8 i + 8 j– 11 k) m

r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m

Ecuaciones escalares del movimiento.

Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo es situarlo en el eje de las “x” con lo que:

v = vx • i = k • i r = x • i = (x0 + vx • t) • i

Eliminando i de ambas miembros de las ecuaciones nos queda:

vx = k ; x = x0 + vx• t

que se les denomina ecuaciones escalares.

Ecuaciones escalares del MRU en tres dimensiones.

Si no está situado en el eje “x”

v = vx • i + vy • j + vz • k en donde vx, vy, vz son tres constantes.

Entonces r = x i + y j + z k = (x0 + vx • t) i + (y0 + vy • t) j + (z0 + vz • t) k

Y las ecuaciones escalares quedarían:

vx = k1 ; x = x0 + vx• t

vy = k2 ; y = y0 + vy• t

vz = k3 ; z = z0 + vz• t

Ejercicio:

Escribir las ecuaciones escalares del movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía determinada por r0 = (2 i + k) m.

Ecuaciones escalares

de velocidad: vx = 3 m/s ; vy = 4 m/s ; Vz = –6 m/s ;

de posición: x = (2 + 3 t) m ; y = 4 t m ; z = (1 – 6 t) m.

Representación gráfica x/t.

Al representar “x” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “v” (v = tg a) y la ordenada en el origen es x0.

Representación gráfica v/t

Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “v” es constante y no varía con “t”.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)

Se cumple que: a = k • ut , es decir: at = k = a ; an = 0

Como la dirección no varía ut puede coincidir con cualquier vector unitario i, j o k.

Ecuaciones del movimiento MRUA.

a = dv/dt = ax • i significa que la v varía con el tiempo siempre al mismo ritmo.

dv = a dt.

Integrando: v = ∫ dv = ∫ a • dt = a • t + v0 (v0 = constante)

Para obtener la posición se vuelve a integrar:

r = ∫ dr = ∫ v • dt = ∫ (a • t + v0) • dt =

r = ½ a • t2 + v0 • t + r0 (r0 = constante)

Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará como:

r = x i = (½ ax • t2 + v0x• t + x0) i

Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará como:

r = y j = (½ ay • t2 + v0y• t + y0) j

Ejemplo:

Sea el movimiento definido por las siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la velocidad y de la posición.

v = ∫ a • dt = ∫ (5 i) m/s2 dt; v = (5 m/s2 • t + 3 m/s) i

r = ∫ v • dt = ∫ (5 m/s2 • t + 3 m/s) i • dt

r = (5/2 m/s2 • t2 + 3 m/s • t + 4 m) i

Ejercicio:

Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (4• t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?

a = dv/dt = 4 j m/s2

r = ∫ dr = ∫ v • dt = €(4• t + 2 ) j dt = (½

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