Cinética Química

Introducción.

Estimado lector, la aplicación que describe el maravilloso mundo de las matemáticas tiene un área y asimilación sorprendente con la Química. Tal es del caso y propósito de este folleto, el cual describe a la cinética química desde un punto de vista de la ingeniería, pues, ocupa del estudio de la velocidad de las transformaciones químicas en sistemas homogéneos o heterogéneos tanto catalizados como no catalizados. Las ecuaciones diferenciales aparecen de forma natural en cantidad de problemas de ingeniería química en los que los procesos no son estacionarios. El uso de la notación difiere de la convencional en el campo de las matemáticas estrictas, sin embargo, el principio es el mismo.

“Universidad Nacional Autónoma de México”

“Ecuaciones Diferenciales”.

“Cinética Química”

[pic 1]

Una ecuación química puede denotarse como:

a A + b B + · · · = p P + q Q + · · ·

Agrupando de un lado de la igualdad:

0 = −a A − b B − . . . + p P + q Q + . . . =

νAA + νBB + . . . + νP P + νQQ + . . .

La velocidad de reacción es la variación de la concentración (en mol/ (unidad de volumen), supuesto el volumen constante) y divido por el correspondiente número estequiométrico. Por lo que:

[pic 2]

Una reacción de acuerdo a la ley de acción de masas se puede expresar como:

a A + b B + · · · → productos

Que puede expresarse de la forma:

v = k[A] α [B] β · · ·

Siendo k la constante de velocidad de la reacción y comprendiendo que se trabajará con una reacción de segundo orden con dos reactivos por ser de la forma:

A + B → productos

Entendemos que…

[pic 3]

Estableciendo que x(t) es [mol/L] de [A] o [B], y que concentraciones iniciales de A y B son [A]0 = a y [B]0 = b, resulta que [A] = (a − x(t)) y [B] = (b − x(t)). En consecuencia:

[pic 4]

Se obtiene la ecuación diferencial:

x´ = k (a − x) (b − x)

Ejercicio. Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que se producen consecutivamente en un reactor:

[pic 5]

Teniendo 2 mol de S y 1 mol de A.

¿Cuál es la fracción molar de X cuando ya ha sido consumida la mitad de A? Supóngase que k2/k1 = 2.

Expresando con las concentraciones molares:

[pic 6]

Comprendiéndose como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con cuatro funciones incógnitas: [A], [S], [X] y [Y]. Como deseamos conocer la fracción mol de X cuando [A] = ½. Necesitamos conocer el valor de la fracción:

[pic 7]

[X] y [Y] son funciones que dependen de [A] (y también de [S]). Podemos aplicar la regla de la cadena para escribir lo siguiente y considerando que [pic 8] tenemos:

[pic 9]

Utilizando un sistema de ecuaciones:

[pic 10]

La variable independiente es [A] y la variable dependiente o función incógnita es [X]. Por lo tanto:

[pic 11]

Con solución lineal y donde:

[pic 12]

Sustituyendo e integrando:

[pic 13]

Debemos imponer la condición inicial: para t = 0, pues, [A] = 1 y [X] = 0. Por ende:

[pic 14]

Para encontrar la expresión de [Y] como función de [A] usamos la regla de la cadena para escribir:

[pic 15]

Separando variables la integración es inmediata, además, imponiendo que t = 0 sabemos que [A] = 1, [Y] = 0, obtenemos K = 1.

[pic 16]

La segunda forma de obtener [Y] como función de [X] es observar que del sistema obtenemos que:

[pic 17]

de modo que [A] + [X] + [Y] = cte (como función de t). Pero como en t = 0, [A] = 1 y [X] = [Y] = 0, resulta que [A] + [X] + [Y] = 1. Es decir:

[pic 18]

Expresando a [S] en función de [A]. Del sistema encontramos que:

[pic 19]

De modo que [S] + [X] + 2[Y] = cte (como función de t). Pero como en t = 0 tenemos que [S] = 2 y [X] = [Y] = 0, Se deduce que cte = 2. Es decir, [S]+[X]+2[Y] = 2. Por lo tanto:

[pic 20]

Ahora ya estamos en condiciones de calcular la fracción molar de [X]:

[pic 21]

Finalmente, la fracción molar cuando [A] = 1/2, concluimos que ´esta es 1/9.

Conclusión.

La ecuación de velocidad de reacción puede ser explicada y analizada a través de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ya hemos observado que las ecuaciones diferenciales tienen importante relevancia en la química, al ser una ciencia exacta se espera que todo lo que se haga sea justificado de manera clara y con argumentos comprobables.