Coduccion De Calor Bidimencional En Estado Estacionario

3.2- Método Gráfico

En muchas circunstancias solamente se requiere una estimación de la distribución de temperatura y el flujo de calor en un sistema en que las condiciones de frontera son isotérmicas o adiabáticas. Esta estimación puede inclusive ser útil para iniciar la solución numérica de un conjunto de ecuaciones en diferencias en donde se requiere una solución más precisa.

Puesto que el flujo de calor en cualquier punto de un sistema es perpendicular en las líneas isotermas. El método gráfico consiste esencialmente en construir una red formada por líneas isotermas y líneas de flujo de calor constante que intersecten a ángulos rectos.

q_elemento=-k∆x(1) ∆T/∆y

Este flujo es el mismo a través de todo el ducto formado por las líneas de calor constante en donde se localiza el elemento. Si por construcción ∆x=∆y, este flujo de calor es proporcional a la diferencia de temperatura ∆T a través del elemento. Por otra parte en términos de la diferencia total de la temperatura en el sistema,

∆T=〖∆T〗_total/N

Donde N es el número de incrementos de temperatura entre las superficies isotermas interior y exterior del sistema. Si en la red existen M ductos por donde fluye el calor,

q=-M/N k〖∆T〗_total=M/N k(T_1-T_2 )

La expresión anterior permite calcular el calor total transferido por unidad de profundidad entre las superficies isotermas T_1 y T_2 siempre y cuando el coeficiente M/N sea conocido. A este cociente se denomina con el símbolo S y se le conoce como el factor de forma de conducción. En términos de este parámetro la expresión anterior puede escribirse como,

q=kS(T_1-T_2 )

Le exactitud de método gráfico depende completamente de la habilidad que se tenga para construir la red formada por las líneas isotermas y las de calor constante, cuidando que éstas se intersecten perpendicularmente y que ∆x≅∆y.

Anteriormente se consideró la conducción unidimensional de calor y se supuso que la conducción en otras direcciones era despreciable. Muchos problemas de transferencia de calor que se encuentran en la práctica se pueden aproximar como si fueran unidimensionales, pero éste no siempre es el caso.

A veces también se necesita considerar transferencia de calor en otras direcciones, cuando la variación de temperatura en esas direcciones es significativa.

En esta sección se considera la formulación numérica y la solución de la conducción bidimensional de calor en estado estacionario en coordenadas rectangulares, mediante el método de diferencias finitas. El procedimiento que se presenta a continuación se puede extender hacia los casos tridimensionales.

Considere una región rectangular en la cual la conducción de calor es significativa en las direcciones x y y. Divida ahora el plano x-y de la región en una malla rectangular de puntos nodales con espacios ∆x y ∆y en las direcciones x y y, respectivamente, como se muestra en la figura 5-23, y considere una profundidad unitaria de ∆z = 1 en la dirección z.

El objetivo es determinar las temperaturas en los nodos y resulta conveniente numerarlos y describir su posición por los números, en lugar de las coordenadas reales. Un esquema lógico de numeración para los problemas bidimensionales es la notación de subíndice doble (m, n), donde m = 0, 1, 2,..., M es el conteo de los nodos en la dirección x y n = 0, 1, 2, . . . , N es el conteo de los mismos en la dirección y. Las coordenadas del nodo (m, n) son simplemente x = m∆x y y = n∆y, y la temperatura en el nodo (m, n) se denota por Tm,n.

Considere ahora un elemento de volumen de tamaño ∆x x ∆y x 1, con centro en un nodo interior

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