Conduccion Bidimensional En Estado Estacionario

CONDUCCION BIDIMENSIONAL BAJO CONDICIONES DE ESTADO ESTACIONARIO.

ANALISIS:

A fin de apreciar como se aprovecha el método de separación de variables para resolver problemas de conducción en 2 dimensiones, consideramos el sistema de la figura. Tres lados de la placa rectangular se mantienen a una temperatura constante T1, mientras el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T1" T2. Estamos interesados en la distribución de temperaturas T(x,y), pero para simplificar la solución introducimos la transformación

"(T- T1)/( T1- T2)

Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación ( 2T/ x2)+ ( 2T/ y2)=0, la ecuación diferencial transformada es:

( 2 / x2)+ ( 2 / y2)=0

Y

T2, =0

W

T1, =0 T1, =0

0

X

• T1, =0

Como la ecuación es de segundo orden en X y Y, se necesitan 2 condiciones de frontera para cada una de las coordenadas. Estas son

(0,Y) = 0 y (X,0) = 0

(L,Y) = 0 y (X,W) = 0

Advierta que a través de la transformación de la ecuación, tres de las cuatro condiciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de esta restringido al intervalo entre 0 y 1

Aplicamos ahora la técnica de separación de variables suponiendo que es posible expresar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales depende solo de X mientras la otra depende solo de Y. Es decir, suponemos la existencia de una solución de forma

(X,Y) = X(x)*Y(y)

Al sustituir en la ecuación anterior y dividir entre XY, obtenemos

-(d2X/Xdx2) = (d2Y/Ydy2)

Y es evidente que la ecuación diferencial es, de hecho, separable. Es decir, el lado izquierdo de la ecuación depende solo de x y el lado derecho solo de y. así la igualdad se aplica en general solo si ambos lados son iguales a la misma constante. Al identificar esta constante de separación -hasta ahora desconocida- como 2, tenemos

d2X/dx2 + 2X = 0

d2Y/dy2 + 2Y = 0

y la ecuación diferencial parcial se reduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Advierta que la asignación de 2 como una constante positiva no fue arbitraria. Si se seleccionara un valor negativo o se eligiera un valor de 2 = 0, seria fácil demostrar que es imposible obtener una solución que satisfaga las condiciones de frontera que se establecen.

Las soluciones generales de las ecuaciones son, respectivamente,

X = C1cos x + C2sen x

Y = C3e- y + C4e- y

En cuyo caso la forma general de la solución en 2 dimensiones es

= (C1cos x + C2sen x)( C3e- y + C4e- y)

Al aplicar la condición que (0,y) = 0, es evidente que C1 = 0. además el requerimiento que (x,0) = 0, obtenemos

C2sen x(C3 +C4) = 0

Que solo satisface si C3 = - C4. Aunque el requerimiento también podría satisfacerse con C2 = 0, esta igualdad eliminaría por completo la dependencia de x y por ello proporcionaría una solución inaceptable. Si recurrimos al requerimiento (L,Y) = 0, obtenemos

C2 C4 sen L(e y -e- y) = 0

La única forma de satisfacer esta condición es hacer que tome valores discretos para los que sen L = 0. estos valores deben entonces, ser de la forma

= (n /L) n = 1,2,3,…

donde se excluye el entero n = 0 pues proporciona una solución inaceptable. La solución que se desea se expresa como

= C2 C4 sen (n x/L) (en y/L -e n y/L)

Al combinar constantes y reconocer que la nueva constante depende de n, obtenemos

(x,y) = Cnsen(n

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