Colaborativo Algebra

Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

A. ■(-x-4y-7z=-4@x-7y-z=-7@-x+6z=0)

(■(-1&-4&-7@1&-7&-1@-1&0&6) │■(-4@-7@0)) □(→┴P_(1,2) ) (■(1&-7&-1@-1&-4&-7@-1&0&6) │ ■(-7@-4@0)) □(→┴█(A_(1,2) (1)@A_(1,3) (1)) ) (■(1&-7&-1@0&-11&-8@0&-7&5) │ ■(-7@-11@-7)) □(→┴(M_2 (-1/11) ) ) (■(1&-7&-1@0&1&8/11@0&-7&5) │ ■(-7@1@-7)) □(→┴█(A_(2,1) (7)@A_(2,3) (7)) (■(1&0&45/11@0&1&8/11@0&0&111/11) │ ■(0@1@0)) )□(→┴(M_3 (-11/111) ) ) (■(1&0&45/11@0&1&8/11@0&0&1) │ ■(0@1@0)) □(→┴█(A_(3,1) (-45/11)@A_(3,2) (-8/11) ) ) (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1) │ ■(0@1@0)) → ■(x=0@y=1@z=0)

Se reemplaza en cada ecuación los valores de las variables.

1. -x-4y-7z=-4

-(0)-4(1)-7(0)=-4

-4=-4

2. x-7y-z=-7

(0)-7(1)-(0)=-7

-7=-7

3. -x+6z=0

-(0)+6(0)=0

0=0

B ■(-5x+2y-z+4w=10@3x-7y-z-w=-1)

(■(■(■(-5&2)&■(-1&4))@■(■(3&-7)&■(-1&-1)))│■(10@-1)) □(→┴(M_1 (-1/5) ) ) (■(■(■(1&-2/5)&■(1/5&-4/5))@■(■(3&-7)&■(-1&-1)))│■(-2@-1)) □(→┴(A_(1,2) (-3) ) ) (■(■(■(1&-2/5)&■(1/5&-4/5))@■(■(0&-29/5)&■(-8/5&7/5)))│■(-2@5)) □(→┴(M_2 (-5/29) ) ) (■(■(■(1&-2/5)&■(1/5&-4/5))@■(■(0&1)&■(8/29&-7/29)))│■(-2@-25/29)) □(→┴(A_(2,1) (2/5) ) ) (■(■(■(1&0)&■(9/29&-26/29))@■(■(0&1)&■(8/29&-7/29)))│■(-68/29@-25/29))

La ecuación ya está en forma escalonada reducida. El sistema resultante es:

├ ■(x+9/29 z-26/29 w=-68/29@y+8/29 z-7/29 w=-25/29)} Despejando X y Y tenemos ■(x=-68/29-9/29 z+26/29 w@y=-25/29-8/29 z+7/29 w)

Escrito como vector fila es

[-68/29-9/29 z+26/29 w,-25/29-8/29 z+7/29 w,z,w]

Ésta ecuación tiene infinitas soluciones, ya que las variables X y Y pueden tomar diversos valores.

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

A. Contiene a los puntos P= (-8, -7, 10) y Q= (-10, 8, -3)

Hallo la ecuación vectorial

V=(PQ) ̅=(x_2-x_1 ),(y_2-y_1 ),(z_2-z_1 )

V=(-10-(-8)),(8-(-7)),(-3-10)

V=(-2,15,-13)

(x,y,z)=(-8,-7,10)+t(-2,15,-13) → Ecuación Vectorial

├ ■(x=-8-2t@y=-7+15t@z=10-13t)} (-8-2t,-7-15t,10-13t) → Ecuación Paramétrica

(x+8)/(-2)=(y+7)/15=(z-10)/(-13) → Ecuación Simétrica

B. Contiene a P = (2, 3, -8) y es paralela a la recta (x-9)/5=(y+3)/(-7)=(z+9)/7

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