Concepcion de conceptos y esquemas en matemáticas

El capítulo 2, se presenta el fundamento teórico que se tomó como soporte para realizar el análisis y discutir los resultados de esta investigación, el cual incluye, la descripción de la teoría APOE, la conceptualización, historia y epistemología del concepto de función y la teoría de representaciones.

1. Conceptualización

1.  Concepto matemático

Existen diferentes formas de abordar conceptos matemáticos, según Tall y Vinner (1981): ‘‘el Concepto Matemático es una definición verbal que explica el concepto con precisión y que es aceptado por la comunidad de científicos o las personas’’ (Azcarate y Matías, 2013). Se puede entender por concepto matemático como:

 Una secuencia de palabras o una definición verbal del concepto, fruto de su evolución histórica. Se podrá distinguir entre las definiciones formales, convenidas y aceptadas por la comunidad científica de los matemáticos en un momento dado (que se suelen encontrar escritas en los libros), y las definiciones personales que utilizan las personas (estudiantes, profesores, matemáticos) como interpretación, construcción o reconstrucción de una definición formal. (Jiménez y Machín, 2014: 136).

Los conceptos y esquemas en matemáticas juegan un rol muy importante en el desarrollo de habilidades ya que los alumnos logran desarrollarlos mentalmente y posteriormente identifican si son correctos o incorrectos frente a determinadas situaciones. (Soto, 2011: 2). El aprendizaje de conceptos matemáticos es ineludible vincularlo con los objetos matemáticos, puesto que estos van de la mano tanto porque nos permite comunicar y aprenderlos. Para Godino (2002) un objeto o entidad matemática es todo aquello que puede ser indicado, todo lo que puede señalarse o a lo cual puede hacerse referencia” cuando hacemos, comunicamos o aprendemos matemáticas (p.5).

Por otra parte, Sandoval y Barriga (2011) establecen que un objeto matemático es aquel donde ningún objeto real (concreto) se puede considerar como un representante perfecto. En ese sentido, se requiere de una representación que permita realizar una serie de actividades cognitivas a través de las cuales se pueda aproximar a dicho objeto.

Una particularidad que tiene la matemática es que, para hablar de un objeto, sólo se puede hacer a través de alguna representación, pues no se tiene acceso directo a él mediante la percepción o por medio de una experiencia intuitiva inmediata. En matemática, el aprendizaje de los objetos es conceptual, el sujeto no entra en contacto directo con un determinado objeto, sino con una representación particular de este objeto matemático.

Representaciones de Conceptos matemáticos

Para Tall y Vinner (1981), la expresión que permite referirnos a “la estructura cognitiva de un individuo asociada a un concepto matemático y que incluye todas las imágenes mentales, las propiedades y los procesos asociados al concepto; se construye a lo largo de los años a través de experiencias de todo tipo y va cambiando según el individuo madura y halla nuevos estímulos...” En este caso se entiende como imagen mental el conjunto de todas las imágenes asociadas al concepto en su mente, incluyendo cualquier representación del concepto (gráfica, numéricas, simbólicas,…) (Azcarate y Matías, 2013).

 Tipos de Conceptualizaciones según Sfard

Sfard habla de dos tipos de concepciones de un mismo concepto matemático (Azcarate y Matías, 2013)

1. Las concepciones operacionales; cuando se tratan las nociones matemáticas como procesos dinámicos, algoritmos y acciones.
2. Las concepciones estructurales; cuando se consideran los conceptos matemáticos como objetos abstractos estáticos.

Si bien afirma que los dos tipos de concepciones son complementarias (“la habilidad para ver una función o un número, a la vez como un proceso y como un objeto es indispensable para una comprensión profunda de las matemáticas, cualquiera que sea la definición de comprender’’), ella considera que las concepciones operacionales preceden a las estructurales.

Resumiendo, se puede decir que el esquema conceptual es algo no siempre verbal que asociamos mentalmente al nombre del concepto; puede ser una representación visual del concepto pero incluye también las experiencias y las sensaciones vividas en relación al mismo, así también las propiedades e implicaciones en un contexto especifico.

Es evidente que las representaciones visuales, las imágenes mentales, las propiedades, los procedimientos, las sensaciones o las experiencias asociadas al nombre del concepto se pueden traducir a formas verbales.

1.  El esquema conceptual

Es la expresión cognitiva de un concepto matemático, es decir el alumno debe tener concebido en su interior el concepto matemático, previamente, para crear un esquema conceptual, ya que éste último constituye un grupo de imágenes mentales asociadas al concepto matemático (Universidad Austral de Chile, 2017).

1. Comprensión

La capacidad de comprensión de los estudiantes se evidencia en su capacidad para hacer uso productivo de los conceptos, teorías, etc. De acuerdo con lo registrado por Stone (1999), quién dice que “la comprensión es poder realizar una gama de actividades que requieren pensamiento en cuanto a un tema. Por ejemplo, explicarlo, encontrar evidencia y ejemplos, generalizarlo, aplicarlo, presentar analogías y representarlo de una manera nueva”. (Ruiz,Córdoba y Rendón, 2014).

El concepto de comprensión es muy amplio, se concibe como un proceso de entendimiento y asimilación de contenidos que ocurre muchas veces de manera involuntaria y en otros casos un conocimiento construido, dependiendo de la actitud e interés de la persona por comprender determinadas situaciones. Sin embargo, en el campo educativo, la comprensión se desarrolla según los objetivos planteados por los docentes y los autores o involucrados en el sistema educativo.

En este sentido “Comprender es contar con una buena teoría” que lo creado en la mente de las personas es correcto, amplio y bien fundamentada, la construcción de conocimientos resultará fácil ante determinada situación, en cambio si la teoría que se maneja es superficial y alejada de la realidad, la construcción del conocimiento resultará sin importancia.

Si se habla que comprender es conocer la realidad, implica varios aspectos importantes, para construir el propio conocimiento y no limitarlo a ver únicamente lo que está alrededor, sino analizarlo, criticarlo y llevarlo a la práctica.

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