Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función

Unidad 2: Funciones.
2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.
Definiciones 

Concepto de variable: Derivado del latín, una variable es la expresión simbólica representativa de un elemento no especificado comprendido en un conjunto. Este conjunto constituido por todos los elementos o variables, que pueden sustituirse unas a otras es el universo de variables. Se llaman así porque varían, y esa variación es observable y medible.

En primera medida, un adjetivo que hace referencia a las cosas que son susceptibles de ser modificadas, de cambiar en función de algún motivo determinado o indeterminado.

La variable “x” se denomina variable independiente, mientras que la variable “y” se denomina variable dependiente. 

En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo

Concepto de función: una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Es la correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de A están relacionados con los elementos de B) y con la condición de unicidad (cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B).

Es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado.

A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente. 



Ejemplo.
Ecuación en forma implícita 
Ecuación de forma explícita 
Notación de función 

Nota: El símbolo se lee f de x. y aun que es regular leer la expresión en x esta se puede encontrar con otros símbolos tal como t, s, w, etc. Este será el caso necesario según el autor o el problema.




Al despejar la ecuación implícita se obtiene la ecuación de forma explícita y en la notación de una función nos permite ahorrar palabras.

Sea la en este caso -2 sustituye a x 

Se simplifica





Sustituye y desarrolla 
1. 2 . 3.
a) 
b) 
c) 

1.- 2.- 3.- 
d) 



Concepto de dominio: de es el conjunto de x. el número es la imagen de x por y se denota mediante , a lo cual se le llama el valor de f en x. 

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por , al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio. 

El dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X y que nos generan una asociación en el eje de las Y.

En álgebra, el dominio de una función f(x) es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. Si, por ejemplo, f(x) representa la raíz cuadrada de x, entonces el dominio se define como todos los números racionales positivos.

Ejemplo. 
donde x ≠0 por que = indeterminado 

Donde x puede tomar cualquier valor diferente de 0
= .5 = .333 =.25…
= -.5 = -.333 = -.25…
= 10 =100 =1000000…



La variable independiente puede tomar cualquier valor

Para este 
Para este 
Para este 

Ejemplo. Calcula el dominio del siguiente cociente racional 
a) 




1 7
Sustituimos 
Si 
Si 
No 


b) 


Sustituimos 
Si
Si
No 


c) entonces la condición para un cociente es que x≠ 0

Entonces el 

d) Recordemos que en un cociente solo se utiliza el denominador 
x – 3 ≠ 0
x ≠ 3 entonces el 


e) Igual forma 
+1= 0
Como x2 la pasamos como radicando
Y cualquier valor que le demos será siempre positivo y más si le sumamos 1

Entonces 

Nota: recordemos el teorema de los radicales x2 = √ x porque podemos manejar la propiedad x = n√xn.
Ejemplo: x2=81 = √81= 9

f) la condición es que x > 0 ya que x2 siempre será positivo y más si le sumamos 25



g) para radicales será siempre ≥ 0 con inecuaciones
Tenemos que condicionar que no vaya a ser negativo 
Primero igualamos a 0
Luego resolvemos la inecuación
Pasamos el negativo 
y nos queda de esta forma 
= 

Graficamos 

-2 0 2
Tomamos valores de la recta de cada intervalo (-3, 0, 3)

Simplificamos raíz negativa no existe, por tal no sirve

Es positivo y este si nos sirve para la solución 

Negativa no existe, por tal no sirve


Ejemplo.
h) 

Entonces 

i) 
Para este caso solo la condición es que sea mayor que 0



Concepto de codominio: Codominio es el conjunto de números que podrían ser solución de la función de un número del dominio, sin embargo no todos los números del codominio son resultados de una función dada.
Entonces el dominio es el valor que toma la variable independiente, mientras que el codominio es el valor que toma la variable dependiente de la función.

Rango o recorrido de una función: el recorrido o rango de f se define como el sub dominio de Y formado por todas la imágenes de los números de x.

Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).





Dominio Rango 





Calculemos 
Hallar el recorrido de la sig. Función 

Calculamos su dominio 

Rango: hacemos y despejamos 


Calculamos y 

Se eliminan los 


Ejercicios
a) 

b) 




Entonces decimos que 



Grafica de funciones básicas 

Función de una constante c



Entonces decimos que


Función cuadrática 
Como 

Entonces 

Función cubica 


Función raíz cuadrada 


Función valor absoluto 

Función racional 


Función polinomios 






Función seno 


Función coseno 


Calculemos el dominio ye l rango 

1. No puede haber raíces pares con números negativos.
2. No se permite que el denominador en una expresión algebraica sea 0.

No se puede calcular el dominio ni rango en:

Raíz negativa o cocientes divididos en 0.
Ejemplo.



2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Las funciones pueden clasificarse como inyectiva, suprayectiva y biyectiva; para entenderlo debemos recordar las definiciones de domino, imagen, codominio, variable dependiente y variable independiente.

Sean las funciones comparadas con cada elemento de x junto con y. 

Analicemos 

Funciones inyectiva

Ejemplo de función inyectiva.
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de.
Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva

"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").


Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y, entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:
Si además existe otra aplicación inyectiva, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B
Calculemos 
Determinar si la siguiente función es inyectiva o no. 
Primero elaboramos una tabla

...