Conicas Y Aplicaciones En La Ingenieria Civil

LAS CO´ NICAS Y SUS APLICACIONES

Adem´as de las rectas, c´ırculos, planos y esferas que conoce cualquier estudiante de Euclides, los griegos sab´ıan las propiedades de las curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano: la elipse, la para´bola y la hip´erbola. Kepler descubrio´ al analizar sus observaciones astron´omicas -y Newton lo demostr´o matem´aticamente sobre la base de la ley universal de la gravitacio´n- que los planetas describen elipses. As´ı se hizo de la geometr´ıa de la Grecia antigua piedra angular de la astronom´ıa moderna.

J. L. Synge (1897-1995)

´INDICE

1. Origen de las c´onicas.

2. Distintas definiciones de c´onica.

3. Construcci´on de c´onicas.

4. Propiedades reflexivas.

5. Los ´ovalos.

6. Clasificacio´n de una c´onica.

7. Propiedades varias.

8. C´onicas en la vida real.

1. ORIGEN DE LAS CO´ NICAS.

Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matem´aticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocid´ısimas c´onicas, en un principio estudiadas casi por simple diversi´on, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de la ciencia. Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el primero que las introdujo pu´blicamente, escribiendo el m´as importante tratado antiguo sobre las secciones c´onicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus hab´ıa escrito el primer tratado sobre c´onicas. Lo que no es tan conocido es que el motivo que origin´o esta craci´on no fue precisamente el de explicar las ´orbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones s´olo con regla y comp´as de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos irresolubles, como son el de la duplicaci´on del cubo, la trisecci´on del ´angulo y la cuadratura del c´ırculo.

Durante muchos siglos, las c´onicas fueron descartadas en los trabajos de los matem´aticos hasta que volvieron su´bitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea est´a lleno de secciones c´onicas. En la elipse encontro´ Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene

´orbitas el´ıpticas y el sol est´a situado en uno de sus focos (de ah´ı el nombre dado a estos puntos). En base a este descubrimiento Newton enuncio´ la famosa ley de la gravitacio´n universal; as´ı el descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia matem´atica de dicha ley. Tambi´en los sat´elites y los cometas tienen ´orbitas el´ıpticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es es en cierto modo providencial, pues si se tratara de hip´erbolas o para´bolas, no volver´ıan a repetir su ciclo. As´ı mismo, Galileo demostr´o que las trayectorias de los proyectiles son parab´olicas.

1.1. Trisecci´on de un ´angulo.

Hoy en d´ıa, la propiedad menos importante de estas curvas, en vista de su utilidad para el mundo matem´atico, es precisamente que cierto par de par´abolas permite la duplicaci´on del cubo y cierta hip´erbola permite trisecar un ´angulo. Como la belleza no est´a ren˜ida con el inter´es, veremos con cierto detalle esta u´ltima construccio´n, desechada por los mismos griegos, debido a que las mismas c´onicas no se pueden construir con regla y comp´as.

Sea α un ´angulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radio OA = OB de modo que AˆOB = α. Sea la recta OC bisectriz de α. Con OC como directriz y B como foco, se construye una rama de hip´erbola de excentricidad e = 2. Sea P el punto de intersecci´on de la hip´erbola con el arco de circunferencia AB. An´alogamente se obtiene el punto P t utilizando A como foco. La situaci´on actual se representa en la figura siguiente:

O C

Por defi cio´n de hip´erbola, BP = 2PD y APt = 2DPt (ver seccio´n 2.3). Adem´as, debido a la simetr´ıa, PD = DPt. En defi tiva, resulta que BP = PPt = P tA y queda as´ı trisecado el

´angulo α.

1.2. Duplicaci´on del cubo.

La leyenda afirma que el rey Minos de Creta hab´ıa ordenado erigir a su hijo una tumba en forma de cubo y que, por negligencia del constructor, resulto´ demasiado pequen˜a. Hubo necesidad de demoler el cubo de m´armol de 100 pies de arista y sustituirlo por otro de volumen doble.

Una segunda leyenda cla´sica afirma que el or´aculo de Delos aconsej´o a los atenienses que, para aplacar al dios Apolo, cuyo altar en Delos ten´ıa forma cu´bica, le levantaran un nuevo altar cu´bico de volumen doble. Como los ge´ometras se demostraron incapaces de resolver el problema, se recurrio´ a Plato´n, quien aleg´o que los dioses hab´ıan pensado, m´as en la duplicaci´on del cubo en s´ı, en excitar el inter´es por el estudio de la Geometr´ıa en general.

En todo caso, es un hecho histo´rico que el problema de Delos hall´o ya en la antigu¨edad diversas soluciones constructivas, aunque desde luego ninguna con el uso exclusivo de la regla y el comp´as, porque si llamamos a a la arista del cubo original y x a la del cubo duplicado, el problema se reduce a resolver la ecuaci´on 2a3 = x3 y es un hecho conocido entre los matem´aticos que las ecuaciones de grado mayor que dos en general no se pueden resolver geom´etricamente (es decir, con el uso exclusivo de regla y comp´as).

Como nuestro inter´es aqu´ı es mostrar el uso de las c´onicas en la resoluci´on gr´afica de dicho problema, daremos la solucio´n conseguida por Hip´ocrates de Chios en el siglo V a.C. mediante la intersecci´on de dos par´abolas.

Con la notacio´n actual y el uso de la Geometr´ıa Anal´ıtica, la soluci´on de Hip´ocrates ser´ıa la siguiente:

Sean las par´abolas de ecuaciones x2 = ay, y2 = 2ax. Es muy sencillo comprobar que la abscisa

del punto de intersecci´on de ambas es x = a√3 2, igual a la arista del cubo doble.

x2 =ay

y2 =2ax

aè3 !2!!

Observamos as´ı c´omo problemas sin aparente importancia para nosotros dan lugar a creacio- nes -como

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