Conjunto De Numeros

1. CONJUNTOS DE NÚMEROS

Veamos en primer lugar todos los tipos de números que conocemos y por qué se han ido ampliando.

N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...}

Necesidad de ampliación: para resolver ecuaciones como x + 12 = 5

Z: Números Enteros: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}= N+ negativos

Necesidad de ampliación: para resolver ecuaciones como 4x = 34

Q: Números Racionales: =

Z+ fraccionarios

Necesidad de ampliación: para resolver ecuaciones como x2-2=0

R: Números Reales: = Q + irracionales

Necesidad de ampliación: para resolver ecuaciones como x2+1=0

C: Números Complejos: =

R+ imaginarios

2. UNIDAD IMAGINARIA

Al resolver la ecuación x2+1=0 se obtiene:

La unidad imaginaria es el número

3. POTENCIAS DE i

Se repiten cada 4.

Si queremos saber una potencia cualquiera de i, se divide el exponente entre 4, quedando el resto de la división como nuevo exponente.

Ejemplo: Al dividir 43 entre 4 nos da 10 de cociente y 3 de resto.

Para encontrar cualquier exponente de la unidad imaginaria siempre se divide por 4 el resto estará como nuevo exponente que será el valor de la unidad

4. NÚMEROS COMPLEJOS

Son los que tienen la forma a+bi, siendo a y b números reales.

Esta es la forma binómica (dos términos) de un número complejo.

En general también se le llaman con una sola letra, como z.

a = parte real si a=0, el número bi se llama imaginario puro

z = a+bi

bi = parte imaginaria si b=0, el número a es real

5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Se representan en el plano complejo, el eje horizontal es el EJE REAL y el vertical el EJE IMAGINARIO.

Ejemplos:

El punto extremo de la flecha se llama afijo del número complejo.

Opuesto: -a-bi

Dado el complejo a+bi

Conjugado: a-bi

SUMA Y RESTA

Queremos sumar los números complejos 3 - 2i y 5 + 6i

(3 - 2i) + (5 + 6i) = 3 + 5 - 2i + 6i = 8 + 4i

Análogamente procederemos para restar el número complejo 4 - 7i de otro complejo 6 - 5i:

(6 - 5i) - (4 + 7i) = 6 - 4 - 5i - 7i = 2 - 12i

Partiendo de estos ejemplos, se puede generalizar y decir que se suma (o se resta) parte real con parte real, y parte imaginaria con parte imaginaria:

MULTIPLICACION

Para multiplicar complejos, se aplica la propiedad distributiva como si se tratara de números reales; debe tenerse en cuenta que : i = Ö-1 , i2 = -1

( 3 + 4 i ) • ( 2 - 5 i ) = 26 - 7 i

En general, se tiene que:

( 3 + 4 i ) • ( 2 - 5 i

...