Conjunto De Numeros Complejos

Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.

Multiplicación.

En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.

Multiplicación por un escalar. donde .

Ejemplo. Dados y , hallar:

a)

b)

c)

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las y eje imaginario (Im) al eje de las .

Gráfica 1: Representación del número complejo .

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano el número complejo coincide con el número real . De este modo tenemos cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :

Para eso escribimos el número real en la forma y aplicamos la definición de multiplicación:

.

Denotaremos el número complejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

Forma binómica de un número complejo

Sea un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

Pero como y , entonces . En este caso se llama forma binómica o binomia del número complejo.

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

, puesto que son todos números reales.

porque .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si y , halle y .

Conjugado de un número complejo

Si es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que pero la parte imaginaria

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