Conjuntos Probabilisticos

ACTIVIDAD 2

Integrantes del Equipo: 

• Rafael Escamilla Martínez  
• Arath Larrainzar Mejía 
• Juan José Madrid Astorga 

• Dante Terreros López 

Resolver los ejercicios: 6, 7, 20 y 29

6. Sea  una se subconjuntos de  y sea  un elemento de . Demuestre que la colección de  es una  de subconjuntos de  Se usan los símbolos  para denotar a esta colección.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Demostración:

• [pic 10]

Sabemos que  entonces [pic 11][pic 12]

• Ahora veamos que [pic 13]

[pic 14]

Además [pic 15]

Ahora tomando  se cumple así que [pic 16][pic 17]

• Veamos que si [pic 18]

Como  tal que [pic 19][pic 20]

Entonces  [pic 21]

Pero como  porque [pic 22][pic 23]

Así  [pic 24]

7. Sean  dos conjuntos arbitrarios, y sea una función en donde  es un espacio medible. Demuestre que la siguiente colección es una  de subconjuntos de :[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

[pic 30]

Demostración:

Para probar que dicha colección es  tenemos que probar que cumple las 3 condiciones de una σ-algebra [pic 31]

• ya que  es un espacio medible y , mas aún  [pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
• Sea  por hipótesis sabemos que existe un B de modo que A=, así sabemos que  y   .[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Ahora bien  mas aún, .[pic 44][pic 45]

• Sea ., entonces existen  tal que . Así , luego  y como  entonces [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

20. DEFINICIÓN ALTERNATIVA DE ÁLGEBRA. Demuestre que es un álgebra de subconjuntos de  si, y solo si, cumple las siguientes condiciones:[pic 53][pic 54]

a) .[pic 55]

b) Si , entonces [pic 56][pic 57]

Demostración:

Por definición de  debe contener a  en su conjunto ya que es consecuencia del ser el espacio muestral.
Si  y están contenidos en ,  representa  y por lógica,  y por lo tanto , más aún . ■[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

29. Demuestre que [pic 68]

Demostración:

Para demostrar la igualdad tenemos que probar la doble contención.

• [pic 69]

Sabemos que  es el conjunto de todos aquellos intervalos faltantes para que  sea .[pic 70][pic 71][pic 72]

...