Cuales son las condiciones para que una función sea continua en un punto x=a

Cuales son las condiciones para que una función sea continua en un punto x=a.

Tiene ser continua en todos los puntos de ese intervalo, una funcion es continua en un intervalo abierto si es continua para todos los puntos del intervalo aunque f(a) y f(b) no estén definidos.

Que tipos de discontinuidad existen?

[1.Discontinuidad evitable.

Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de la función en el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o a no pertenece al dominio de f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.

Ejemplo. La función es discontinua en x =3, pues la función no existe en 3, pero sí existe el límite en ese punto (comprobarlo) por lo tanto la discontinuidad es evitable

2.Discontinuidad inevitable o de primera especie.

Si existen los límites laterales en un punto, pero no coinciden, la discontinuidad se llama de salto. El salto (finito) es la diferencia entre estos valores (en valor absoluto). Cuando uno de los límites laterales de infinito se trata de una discontinuidad de salto infinito.

Ejemplo. a) la función signo en x = 0 presenta una discontinuidad de salto 2, pues

y el salto es 1-(-1)=2.

b) La función f(x) = 1/x es discontinua en 0 de salto infinito.

3.Discontinuidad esencial o de segunda especie.

Si no existe alguno de los límites laterales la discontinuidad se dice de 2ª especie, o esencial.

Ejemplo. tiene una discontinuidad esencial en 0.

es decir no existen ni los límites laterales pues “oscilan entre 1 y -1”

Cuando se dice que una función es continua en un intervalo abierto (a,b)

cuando es continua en todos los puntos de ese intervalo

Cuando se dice que una función es continua en un intervalo cerrado [a,b]

Es definida en un intervalo cerrado si lo es ára todo valor en el intervalo f(a) y f(b) estén definidos y además exista el limite cuando ‘’x’’ tiena hacia ‘’a’’ y ‘’b: lim f(x) x->a+

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