Funciones continuas y discontinuas en un punto

Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Definición: Una función f es CONTINUA EN x = a, si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones:

l. f(a) existe.

ll. existe.

lll.

Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse se dice que f es DISCONTINUA (NO CONTINUA) en x = a.

Observaciones:

l. Si en la definición anterior, sustituimos por o por , se dice entonces que f es continua a la derecha, respectivamente, a la izquierda del punto x = a.

ll. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto, la condición iii. de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a, si y solo si, .

lll. Si en la definición de continuidad se hace: x = a + h; con a y (a + h) en el dominio de f, se dice entonces, que f es continua en a si y solo si, .

lv. Las discontinuidades se clasifican en dos categorías: evitables o removibles e inevitables o no removibles. Si f es discontinua en x = a y existe pero es diferente de f(a), se dice que la discontinuidad es REMOVIBLE O EVITABLE, es decir, si f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f(a).

Así por ejemplo, la gráfica de la figura (a) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad Removible o evitable en x = a. Mientras que la gráfica de la figura (b) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad inevitable o no removible en x = a.

v. Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto, se usa la frase "Remover la discontinuidad" para indicar que se puede redefinir la función haciendo que: y de esta manera obtener una nueva función continua en x = a.

Considere por ejemplo, la función f definida por:

La gráfica de la función aparece en la siguiente figura:

Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene:

l. (Existe)

ll.f (0) = 3 (Existe)

Pero, ; lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, como , la discontinuidad es evitable.

Se puede entonces, "remover" o "evitar" la discontinuidad, redefiniendo una nueva función de tal forma que . Esto es, redefiniendo a f así:

Esta nueva función es continua en x = 0.

Es de anotar que la función f se ha redefinido y por lo tanto, no se trata de la misma función. ¿Porqué?

Teorema (Algebra de funciones continuas). El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, señala importantes propiedades de las funciones continuas y es al mismo tiempo herramienta útil que permite deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición.

Sean f, g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces:

l. (f + g) es continua en x = a. (Suma de funciones continuas es continua).

ll. (f – g) es continua en x = a. (Diferencia de funciones continuas es continua).

lll. (f • g) es continua en x = a. (Producto de funciones continuas es continua).

lv. es continua en x = a, si g(a) ≠ 0. (Cociente de funciones continuas es continua).

Consecuencias:

C.C.1. La función poli nómica es continua en todo punto del eje real. En efecto, sea una función poli nómica de grado n.

Sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente el teorema 1 en sus partes l., ll. y lll se obtiene que:

y de aquí, Pn (x) es una función continua en todo punto del eje real.

C.C.2. Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el denominador de la función.

Ejemplo: Analizar la continuidad de las siguientes funciones. Si la función es discontinua decir a que clase corresponde y redefinir la función cuando sea necesario.

1.

2.

TAREA: Analizar la continuidad de las siguientes funciones. Si la función es discontinua decir a que clase corresponde y redefinir la función cuando sea necesario.

1.

2.

3.

4.

Continuidad En Un Intervalo

Definiciones:

l. Una función f es continua en un INTERVALO ABIERTO (a, b) si y solo si, f es continua en TODO punto del intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞, ∞) es continua en todas partes.

ll.Una función f es continua en un INTERVALO CERRADO [a, b] si y solo si, f es continua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b. O sea:

EJEMPLO DE LÍMITE LATERAL: Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha.

Solución: Este es un ejemplo de límite unilateral puesto que la x si se aproxima a -2 por la izquierda dentro del radical se tendría un resultado negativo. Por lo tanto solo puede acercarse por la derecha. Entonces:

¿Cuánto vale el límite de f(x) cuando x se aproxima por la izquierda?

¿Cuál es el dominio de la función?

Por lo tanto, la función es continua en el intervalo:

Cuando el límite existe tanto por la izquierda como por la derecha se llaman límites bilaterales.

Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas: (a,

...