Condiciones: función continua

Existen varias formas de evaluar si una función es continua o no:

• La primera de ellas es cuando se evalúa en un punto:

Cuando se evalúa en un punto existen 3 requisitos para que una función sea continua:

• El primero de ellos es: si tenemos una función f(x)= , que f(a) exista, es decir que  sea una función real.[pic 1][pic 2]
• El segundo requisito es: que el límite de f(x) cuando x tiende “a” exista, ej: *supongamos que a vale3 “3”

 = = 27+12+7= 46. Por lo tanto, si existe .[pic 3][pic 4][pic 5]

• El tercero de ellos es: El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales, es decir: si tenemos la siguiente función “f(x)= ” y la evaluamos en “2”, f(x)= , este valor debe ser igual al limite cuando x tiene a ese mismo valor, es decir Al ser estos dos valores iguales, se puede afirmar que esta función si cumple con este requisito[pic 6][pic 7][pic 8]

Si alguna de estas no se cumple, se dice que la función es discontinua en el punto.

Y se dice que una función es continua en un intervalo cuando la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir: si tenemos el intervalo (1;5), la función debe ser continua en todos los puntos del intervalo.

Funciones continuas

Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales:

• Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales. Ej.:[pic 9]

• Las funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador. Ej.: [pic 10]

• Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición. Ej. f. Potencial:   .  Ej. f. exponencial:   . Ej. f. logarítmica: [pic 11][pic 12][pic 13]

1. Función Seno (sin(x)) y Función Coseno (cos(x)):

• Ambas funciones, el seno y el coseno, son continuas en todo el conjunto de los números reales.
• Esto significa que no hay “saltos” o “rupturas” en sus gráficas cuando trazamos estas funciones.

1. Función Tangente (tan(x)):

• La función tangente es diferente. Es discontinua en ciertos puntos.
• Específicamente, la tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de π/2).
• En estos puntos, la tangente se “dispara” hacia infinito positivo o negativo, creando una discontinuidad en su gráfica.

Propiedades de las funciones continuas

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

• La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
• El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
• El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.
• Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

Discontinuidades evitables

Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias para la continuidad se denomina discontinua. Cuando la discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo, se habla de discontinuidad evitable.

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