Curvas R2

Instituto Tecnológico de Morelia

Calculo Vectorial

Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas

Alumno: Acevedo Vargas Rodolfo Antonio

Profesor: Ruben Vega Cano

Morelia, Mich. 08 de Abril de 2013

Índice

Unidad 2 Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas

2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta

2.2 Curvas planas

2.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica

2.4 Derivada de una función dada paramétricamente

2.5 Coordenadas polares

2.6 Graficacion de curvas planas en coordenadas polares

2.1 Ecuacion paramétrica de la línea recta

La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma paramétrica como la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuación vectorial que denote una línea recta. El parámetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relación particular con la ayuda de los parámetros. Por tanto, una ecuación paramétrica es una ecuación que está basada en una variable en particular. Una ecuación paramétrica, en términos generales, se conoce también como representación paramétrica. Ejemplo: Considere la ecuación x = 2 + 3t. En esta ecuación, t denota el parámetro y la ecuación se conoce como ecuación paramétrica en términos de t.

Si así consta, por lo general, las ecuaciones de la forma x = x0 + ta; y = y0 + tb; z = z0 + tc representan las ecuaciones paramétricas de línea recta. Para conseguir un punto particular en la recta, todo lo que tenemos que hacer es tomar el valor de t de cualquiera de las ecuaciones e insertarlo en otra ecuación. Como resultado, obtenemos las coordenadas reales de un punto determinado en la recta.

Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuación paramétrica para una recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).

Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial.

Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que −1 está a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, x = −1 + 2t

Paso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es posible ver que el 3 está a −2 unidades de distancia del1. Por tanto, y = 3 - 2t.

Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas para la recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1) son x = −1 + 2t e y = 3 - 2t. Otra forma de ecuación paramétrica en el campo del cálculo vectorial se denomina ecuación vectorial. El cálculo de la ecuación vectorial se basa en el concepto del cálculo de la ecuación paramétrica.

Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuación vectorial para una línea entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).

Se procede de la siguiente manera:

Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial.

Paso 2: Un vector de dirección es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el punto inicial hasta el punto final. Ahora, con el fin de alcanzar al punto (1, 1), debemos mover a x e y a 2 y −2 unidades, respectivamente. Por tanto, el vector de dirección viene a ser (2, −2).

Paso 3: Por consiguiente, la ecuación vectorial toma la forma de: (−1, 3) + (2, −2) t.

La principal diferencia entre la ecuación paramétrica y la vectorial de la recta es el hecho de que con la ayuda de la ecuación vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras que la forma paramétrica ayuda a conocer las coordenadas reales del punto.

2.2 Curvas planas

Las curvas son una parte esencial de las matemáticas.

Existe una gran variedad de curvas que serán tratadas en la vida matemática.

Una curva que se encuentra en un plano individual se dice que es una curva plana.

Una curva plana puede ser clasificada en plana cerrada o plana abierta.

La solución de una ecuación algebraica en un plano definido, por ejemplo, f(x, y) = 0 o la solución de una ecuación simple en el espacio, esto es, por ejemplo g(x, y, z) = 0, forma una curva plana.

Algunas de las propiedades de los planos en los cuales se encuentran las curvas son las siguientes:

1). Sólo se puede obtener una curva plana a través de tres puntos que no sean de origen co-linear.

2). Sólo puede existir un plano que contenga dos líneas concurrentes.

3). Sólo puede obtenerse1 plano perpendicular en una dirección dada y a una distancia dada desde el origen.

4). Un solo plano puede ser obtenido desde un punto dado y en una dirección perpendicular dada.

Por tanto, a partir de estas propiedades, puede decirse que tres puntos dados especifican un plano dado, que dos rectas concurrentes especifican un plano dado, una normal a un plano y la distancia del plano desde el origen especifican un plano particular y, por último, que un punto en el plano y una normal al plano especifican un plano particular.

La ecuación que representa una curva plana se basa enteramente en el sistema de coordenadas. Algunas de las ecuaciones de las curvas planas con el sistema de coordenadas incluyen:

polar, f(r,θ) = 0

rectangular, f(x,y) = 0

paramétrica, x = f(t), y = g(t)

La creación de curvas planas puede efectuarse a través de curvas de contorno o nivel para una función de 2 variables.

Una función de dos variables generará un gráfico triple ordenado en 3D (x, y, z). Aquí z = f (x, y).

Una ecuación algebraica también puede ayudar a generar una curva plana.

Una ecuación algebraica es aquella ecuación en la cual sólo algunas de las operaciones están involucradas, lo que incluye la suma, resta, división, multiplicación, hasta las potencias fraccionarias o integrales y la extracción de la raíz.

Una curva Plana Algebraica forma también una categoría importante en el concepto de curvas planas.

En el caso que la ecuación Cartesiana que esté definiendo la curva sea algebraica, entonces se dice que la curva es una curva algebraica.

Cuando el grado de la curva algebraica es mayor que dos, en ese caso, la curva algebraica se conoce como curva de niveles superiores.

El grado está asociado con todas y cada una de las curvas algebraicas y, puede calcularse mediante la determinación del número total

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