Cálculo de estimadores de la distribución Weibull

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Introducción

 En el presente estudio se analizan datos de un registro sísmico consistente en fechas y coordenadas geográficas de 66 sismos que presentaron una magnitud de ondas de volumen (mb) mayor o igual a 5.0, entre los años 1964 y 1988, en la región I de Tarapacá (Chile).

Para el análisis se consideran los tiempos de ocurrencias entre sismos, se obtiene una muestra aleatoria simple de tamaño 21, bajo el supuesto que estos provienen de una distribución Weibull de parámetros α (escala) y δ (forma).

Para la estimación de los parámetros se implementa un programa computacional utilizando lenguaje C, teniendo en cuenta la distribución de Weibull para los tiempos transcurridos entre cada sismo registrado. De esta manera, también se estima cada cuanto tiempo podría verse afectada dicha región por un movimiento telúrico de gran magnitud.

Por otra parte, para llevar a cabo el ajuste de este modelo se debe tener en cuenta el cálculo de estimadores de máxima verosimilitud tanto para el parámetro de escala como para el de forma, además de utiliza la información de Fisher respectiva para tal propósito.

Objetivos

• Objetivo General:

• Ajustar un modelo Weibull para los tiempos entre ocurrencia de sismos.

• Objetivos Específicos:

• Determinar las ecuaciones para calcular los estimadores de máxima verosimilitud de α y δ.
• Escribir las ecuaciones que permiten calcular la información de Fisher asociada a una observación Weibull de los parámetros α y δ.
• Diseñar un método numérico para el cálculo efectivo de los estimadores.
• Estimar probabilidades de ocurrencias en algún periodo de tiempo, usando el modelo ajustado.

Resultados

Sea X una muestra aleatoria simple que representa el tiempo entre ocurrencias de sismos (en días), la cual distribuye Weibull de parámetros α (escala) y δ (forma), con densidad de probabilidad dada por

 ; x˃0[pic 3]

Se determinan las ecuaciones para calcular los estimadores de máxima verosimilitud de ambos parámetros, obtenido así:

Ecuación del parámetro δ

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Ecuación del parámetro α

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Luego, se determinan las ecuaciones que permiten calcular la información de Fisher asociada a una observación Weibull de parámetros α, δ

Ecuación del parámetro δ

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Ecuación del parámetro α

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Para calcular el método numérico, se utiliza la ecuación del parámetro  en la ecuación del parámetro δ del estimador máximo verosímil. Despejando δ en función de δ, se obtiene[pic 8]

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Los datos que se utilizan para poder realizar el programa computacional son observaciones de fechas y coordenadas geográficas de 66 sismos (de magnitud  5) ocurridos entre 1964 y 1988 en la región de Calama. Para el análisis se toma una muestra de 21 datos que se muestran en la siguiente tabla[pic 11]

Para calcular el estimador máximo verosímil de δ en el programa computacional, se utilizan los datos antes mencionados en distintas funciones escritas en C++, tales como:

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• [pic 15]
• [pic 16]
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Pero antes se necesita saber el valor inicial de δ, que se obtiene por el Método de punto fijo.

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