Distribucion De Weibull

Distribución de Weibull

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir la distribucion de los tamaños de determinadas partículas.

La función de densidad de una variable aleatoria con la distribución de Weibull x es:[1]

donde k > 0 es el parámetro de forma y λ > 0 es el parámetro de escala de la distribución.

La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:

• Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.

• Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.

• Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo

Distribuciones relacionadas:

• La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se encuentra en la literatura. Tiene función de densidad

• Para y f(x; k, λ, θ) = 0 cuando x < θ, donde k > 0 es el parámetro de forma, λ > 0 es el parámetro de escala y θ, el de localización. Coincide con la habitual cuando θ=0.

• La distribución de Weibull puede caracterizarse como la distribución de una variable aleatoria X tal que

• Sigue una distribución exponencial estándar de intensidad 1. De hecho, la distribución de Weibull coincide con la exponencial de intensidad 1/λ cuando k = 1 y la de distribución de Rayleigh de moda cuando k = 2.

• La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente cuando k varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando k < 1 la densidad tiende a ∞ cuando x se aproxima a 0 y la densidad tiene forma de J. Cuando k = 1 la densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando 1<k<2, la densidad se anula en 0, tiene una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando k=2, la densidad tiene pendiente finita en 0. Cuando k>2, la densidad y su pendiente son nulas en cero y la densidad es unimodal. Conforme k crece, la distribución de Weibull converge a una delta de Dirac soportada en x=λ.

• La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución uniforme: si X es uniforme sobre (0,1), entonces sigue una distribución de Weibull de parámetros k y λ. Este resultado permite simular numéricamente la distribución de manera sencilla.

Aplicaciones de la distribución de weibull:

Esta distribución la podemos observar en:

• Análisis de la supervivencia.

• Reliability engineering.

• En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes.

• Teoría de valores extremos.

• Meteorología.

• Para modelar la distribución de la velocidad del viento.

• En telecomunicaciones.

• En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida.

• En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas.

• Propiedades de la distribución weibull:

• Su función de distribución de probabilidad es:

•

• Para x ≥ 0, siendo nula cuando x < 0.

• La tasa de fallos (hazard) es

•

• La función generadora de momentos del logaritmo de la distribución de Weibull es

•

• Donde Γ es la función gamma. Análogamente, la función característica del logaritmo es

•

•

• En particular, el momento n-ésimo de X es:

•

• Su media y varianza son

•

• y

•

• Mientras que su asimetría y curtosis son

Y

Donde Γi = Γ(1 + i / k).

Ventajas de la distribución de weibull:

• Precisión razonable y precisa en el análisis de fallas

• Provee un simple y poderoso gráfico, medición de vida, arranques, paradas, operación, ciclos de misión vs. % acumulativo de fallas. Los parámetros β (Beta, a pendiente) proveen una filosofía de falla y η (ETA, característica de vida) tiempo de falla weibull análisis está relacionado con el MTTF.

Distribución de una falla en un grafico weibull:

• La pendiente de la gráfica weibull, β (beta) se define como:

• β < 1.0 indica mortalidad infantil

• β = 1.0 significa falla aleatoria

• β > 1.0 indica falla por desgaste

Se puede determinar los porcentajes de falla para determinar por ejemplo el 1% de las fallas de una población el cual pueda fallar, es llamada β1.

• β0.1 = 0.1% de la población

• β10 = determina el tiempo en el cual el 10% de la población puede fallar.

La característica η es definida como la edad al cual el 63.2% de las unidades podrían fallar, entonces se determina como β63.

Grafica de una distribución weibull con β=1.787, falla por desgaste CDF=Comulative Distribución Función

Planeación del mantenimiento:

La distribución Weibull es usado para la planeación del mantenimiento, particularmente en el Reliability Centered Maintenance. β (Beta) nos dice sí o no de las inspecciones son programadas o los overhauls son necesarios.

• β < 1 los overhaus e inspección programados son de costo económico no efectivo.

• β  1 periodo de overhaus o programa de inspección son leídos directamente desde el grafico, calculando la probabilidad aceptable de las fallas.

Para modos de falla por desgaste, si el costo de una falla sin planear es mayor que el costo de un reemplazo planeado, el intervalo del tiempo optimo del mantenimiento o reemplazo es calculado a costo mínimo.

La distribución Weibull podría optimizar los intervalos y los costos del mantenimiento.

Usando el predictor de fallas weibull, cuantitativamente se puede calcular:

• Programar y no programar el mantenimiento

• Forzar un retrofit o un convincente retrofit

• Inspecciones no destructivas vs. reemplazo de partes

• Mantenimiento correctivo vs. Nada de mantenimiento.

• Diferentes tiempos entre overhauls.

• Intervalos óptimos del reemplazo.

Los planes

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