TEOREMA BÁSICO, DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL, DISTRIBUCIÓN DE GUMBELL, DISTRIBUCIÓN DE FRECHET

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

INGENIERÍA EN FINANZAS

[pic 1]

ESTADISTICA PROBABILISTICA II

UNIDAD 4 (TEOREMA BÁSICO, DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL, DISTRIBUCIÓN DE GUMBELL, DISTRIBUCIÓN DE FRECHET)

INTEGRANTES:

• Montiel Sara
• Novoa Juan
• Elizabeth Rodríguez
• Zambrano Javier        

Aula: 29

Fecha: 26/01/17

Semestre: 2016-2017

Distribución de Weibull

Depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona una gran flexibilidad a este modelo).

La función de distribución se obtiene por la integración de la función de densidad.

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Propiedades de la distribución Weibull

1. Si tomamos β = 1 tenemos una distribución Exponencial.
2. Su esperanza es:

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1. Su varianza es:

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Ejercicios:

El tiempo de falla, en horas, de un rodamiento en una caja de velocidades se modelo satisfactoriamente como una variable aleatoria de Weibull con β = 12 , y α = 5000 horas.

Determine el tiempo medio de falla y la probabilidad de que un rodamiento dure más de 6000 horas.

Expresión de la media:

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Por lo tanto el 33,4% de todos los rodamientos durará al menos 6000 horas.

Asuma que la vida de un lámpara fluorescente sigue una distribución de Weibull con parámetros β = 2 y α = 10000 horas

1. Determine la probabilidad de que la lámpara dure al menos 8000 horas.

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Determine el valor esperado de la vida de la lámpara.
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Donde se ha hecho uso de los valores de  tabulados en siguiente tabla:[pic 10]

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Distribución de Gumbell

Fue descubierta por Emil Julius Gambel, matemático judío nacido en Alemania a finales del siglo XIX. Es un caso particular de la distribución de valores extremos generalizada, y también es conocida como la distribución log-Weibull, o como la distribución exponencial doble. Según Reiss y Thomas (1997), la distribución de Gumbel tiene la misma importancia que la distribución Normal en otras aplicaciones.

Esta ley de distribución de frecuencias se utiliza para el estudio de valores extremos. Por ejemplo, si hemos elegido el día mas caudaloso o de mayor precipitación de cada año de una serie de años.

La función de distribución de la distribución de Gumbel es:

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Siendo:

b = α(x-u)

α = δy / sx

u=  k - (µy/ α)

e= base de los logaritmos neperianos

k= media aritmética de la muestra

sx= desviación típica de la muestra

δy, µy= desviación típica y media de una serie de valores que dependen solamente del numero de datos

Ejemplo:

1.- De una serie de 55 caudales extremos, se tiene que:

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Media= 21,97m3/ seg

Desv típica= 13,22m3/seg

Calcular la probabilidad de que se supere un caudal de 60 m3/seg.

Resolución:

µ =0,5504     δ =1,1682

1. Calculamos α y u:  

α = δy / sx =1,1682/13,22= 0,0884

u=  k - (µy/ α) = 21,97 – (0,5504/0,0884) = 15,741

1. Calculamos el exponente b

b = α(x-u)= 0,0884 (60-15.741)= 3,917

1. Aplicamos la ecuación Gumbell para el caudal del problema. La probabilidad que se presente un caso menor que x será:

F(x)== 0,9803=98,03%[pic 14]

1. Por tanto la probabilidad que se presente un caso mayor que x será:

1 - F(x) = 1 - 0,9803 = 0,0197 = 1,97%

1. Finalmente el periodo de retorno es el inverso de la probabilidad:

Periodo de retorno = 1/ 0,0197 = 50,8 años

2.- Considerando los mismos datos del ejercicio anterior calcular que caudal se superara un 1% de los casos.

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