DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

RAZÓN:

Se denomina razón entre dos cantidades a y b al cociente entre ellas , que se lee a es a b y que significa que al número a le corresponde el número b Una razón es muy similar a una fracción; pero debemos notar que en una fracción a y b son números enteros, mientras que en una razón a y b son números reales

en ésta expresión el numerador a se denomina antecedente, mientras el denominador b se denomina consecuente.

Una razón es una comparación entre dos cantidades expresada como un cociente.

La comparación se puede realizar entre cantidades del mismo tipo, en cuyo caso el resultado es un número abstracto que carece de unidades, así por ejemplo:

 El tamaño de una persona (a), comparado con la longitud de su zancada (b).

 La distancia recorrida en un trayecto (a) comparada con lo que falta por recorrer (b)

 El largo de un rectángulo(a) comparado con el ancho (b)

 En un triángulo rectángulo se pueden comparar sus ángulos agudos A y B

También se establece la razón entre cantidades de diferente naturaleza, en cuyo caso el número tendrá unidades acorde a las cantidades que se relaciones, así por ejemplo:

 La población de un país y su superficie

 El número de bacterias contenidas en un cultivo por unidad de campo

 Cantidad de combustible consumido por un automóvil por kilómetro

 Número de barones en una clase con respecto a número de mujeres de la misma clase.

 Elementos producidos por horas transcurridas. Etc

PROPORCIÓN: Cuando dos razones son iguales se establece una proporción, es decir una proporción es una igualdad entre dos razones.

Sea y dos razones tales que , entonces , que se lee a es a b como c es a d, que también se escribe a : b = c : d

En la expresión a y c se denominan antecedentes, b y d se denominan consecuentes

También a y d se denominan extremos, mientras que b y c se denomina medios

Ejemplo 1: Establezcamos ahora una proporción entre el tamaño de una persona (a), comparado con la longitud de su zancada (b) y el tamaño de otra persona (c), comparado con la longitud de su zancada (d).

Ejemplo 2: En la mano del cuerpo humano la razón de la falanges

Ejemplo 3: En los pinzones guarda proporción la zona de color del pecho y cabeza (a) con la zona de color del pecho (b), como la zona de color del pecho (c=b) guarda con la zona de color de la cabeza (d)

Cuarta proporcional: Entre tres cantidades conocidas, corresponde al cuarto valor que permite formar la proporción, en las expresiones la x representa la cuarta proporcional.

Media proporcional: Se establece cuando en una proporción los medios son iguales o cuando los extremos son iguales. Es la base de la proporción áurea

Propiedades de las proporciones

 En una proporción pueden invertirse las razones y sigue siendo una proporción

Si ,

 El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Si , ad = bc.

 En una proporción a cada antecedente se puede sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente sumar su respectivo antecedente y sigue siendo una proporción

Si o

 En una proporción a cada antecedente se puede restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente restar su respectivo antecedente, y sigue siendo una proporción

Si o

 En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes, es a la suma de los consecuentes, como uno cualquiera de sus antecedentes es a su respectivo consecuente.

Si

TEOREMA DE THALES

Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta.

Sean las rectas paralelas L1, L2 y L3, y las secantes AC y DF

Donde se cumple que:

Una aplicación inmediata del teorema de Thales es la división de un segmento en partes iguales y también en partes proporcionales a números dados.

División de un segmento en n partes iguales

Consiste en dividir un segmento en un número de partes cuya longitud sea la misma.

A B

A B

Para dividir un segmento en n partes iguales utilizando un método geométrico se procede así:

 Dado el segmento AB

 En el extremo A se dibuja una línea auxiliar AC no importa el ángulo de inclinación

 Se señala sobre AC n segmentos de igual longitud

 Se une mediante una recta el extremo del último segmento con B

 Se trazan paralelas a la última línea trazada y que pasen por cada extremo de los segmentos

 El segmento AB a quedado dividido en n partes iguales

Si el segmento se ubica sobre una recta numérica podemos dividirlo matemáticamente.

Consideremos el segmento AB ubicado sobre una recta numérica horizontal, digamos que esta recta es un eje x, podemos asignar al punto A un valor x1 y al punto B un valor x2, con lo que las coordenadas de AB serían (x1,x2) si deseamos establecer la longitud del segmento AB basta con restar el segmento 0x1 del segmento 0x2,

AB= 0x2 - 0x1

O simplemente restando la coordenada de la derecha x2 de la coordenada de la izquierda x1

AB = x2 - x1

Si ya conocemos la longitud del segmento AB podemos dividir esta longitud para el número de veces que se desea dividir el segmento

Para determinar las coordenadas de los extremos de los segmentos basta con sumar x1 con d, y a cada nueva valor sumarle d hasta llegar a x2

División interna de un segmento

Consiste en localizar un punto P en el interior de un segmento, tal que forme dos segmentos que están en una razón dada,

A P B

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