Derivación de la ecuación de Rayleigh-Plesset.

Índice…………………………………………………………………………………………………………………………………………..   2

Introducción…………………………………………………………………………………………………………………………………  3

Aspecto Teórico…………………………………………………………………………………………………………………………...  4

Modelación Numérica…………………………………………………………………………………………………………………… 5

Evolución de las burbujas……………………………………………………………………………………………………………… 9

Derivación de la ecuación de  Rayleigh-Plesset…………………………………………………………………………….11

Ecuación de la presión de la onda de choque……………………………………………………………………………….12

Bibliografia……………………………………………………………..……………………………………………………………………14

Introducción

El proceso de formación de burbujas o cavidades en un fluido como consecuencia del decrecimiento en la presión a una temperatura constante es conocido como cavitación. La dinámica de tales burbujas es de interés principal en el área de la hidráulica, dado la presencia de éstas puede ocasionar una disminución en la eficiencia y potencia de bombas e hidroturbinas; adicional a ruidos, vibración y erosión en materiales de dichas turbomáquinas. Es así, como el estudio de éste fenómeno, comenzado por Euler hacia 1754, y consolidado por Rayleigh hacia 1917 y Plesset en la década de los cincuenta, ha sido una rama activa de la mecánica de fluidos, lo cual ha generado rápidos desarrollos en esta área, más aun por el progreso simultáneo de las computadoras  y de métodos experimentales. Sin embargo, dada la complejidad del fenómeno, todavía no es posible tener del todo una teoría bien consolidada que describa en gran detalle cada aspecto de la cavitación, principalmente por la cantidad de fenómenos involucrados como cambios de fase, cambios abruptos en las variables termodinámicas, condiciones que favorecen o desfavorecen el desarrollo de cavidades, entre otros. En este trabajo, se solucionó numéricamente la ecuación de Rayleigh-Plesset, la cual describe la dinámica de las burbujas involucradas en el fenómeno de cavitación, por el método del elemento finito de Galerkin. Tal solución se realizó, por medio de una aproximación lineal para el radio de la burbuja y usando una discretización del dominio dado en 59, 299 y 599 elementos así como considerando diferentes condiciones de Dirichlet para el problema estudiado.

La ocurrencia de regiones de baja presión en flujos es un fenómeno bien conocido. Por ejemplo, en el caso del ejemplo Venturi. Un conducto divergente  seguido de una divergente la velocidad es máxima en la gargante donde la sección de cruce es mínima. Después, de acuerdo a la ecuación de Bernoulli la presión es mínima ahí y el riesgo de cavitación es máximo.

La cavitación es generalmente iniciada por núcleos microscopios contenidos en el flujo, dichos núcleos son puntos débiles para el líquido en el cual cavidades macroscópicas son generadas y crecen en zonas de baja presión.

El más simple y más usado modelo de un núcleo es el de una microburbuja. Tan microscopia (solo un par de micras en diámetro) se asume que es esférica y está hecha de una mezcla de gases del líquido evaporado y posiblemente un gas no condensable.

Entonces, es de mayor importancia para el entendimiento de la cavitación el poder entender y predecir la evolución de dicha burbuja. Esto es posible con la ecuación de Rayleigh-Plesset. El parámetro principal para la dinámica de burbuja es obviamente la presión. La burbuja tiende a evolucionar en un medio infinito y descansar en el infinito. La entrada básica para la dinámica de burbujas es la ley de presión instantánea P∞ (t) aplicado a ellos. Cualquier otro flujo aparte de él que es inducido a crecer o colapsar es ignorado. Toda información del flujo original tiene única ley de P∞ (t).

La salida esperada es el tiempo de evolución del radio de la burbuja R(t). Que satisface la siguiente ecuación diferencial de segundo orden conocida como la Rayleigh-Plesset:

[pic 1]

Aspecto Teórico

En un fluido, la transición de fase de líquido a gas puede ocurrir al presentarse dos fenómenos. El primero de ellos es el de “ebullición”, el cual se presenta debido a que se aumenta la temperatura en el sistema a una presión constante como se muestra en la Figura 1.

[pic 2]

Figura 1: representación gráfica del fenómeno de ebullición. Si se aumenta continuamente la temperatura desde E a presión constante por encima de 100◦C llegándose a F, el agua hierve y cambia de estado líquido a gaseoso.

Los valores de temperatura y presión a la cual ocurre la ebullición sonconocidos como temperatura y presión de saturación. Ahora bien, si se sigue la flecha de izquierda a derecha a una presión constante (presión de saturación) el líquido se evaporará completamente. En el mismo sentido, en el fluido se puede presentar la aparición de la fase de vapor pero ya no como una consecuencia de la ebullición sino por el fenómeno conocido como cavitación, en el cual ocurre que ahora en el fluido el valor de la presión en algunas partes o regiones del fluido cae por debajo del valor de la presión de vapor de dicho fluido y se evidencian en él pequeños núcleos o espacios vacíos de gas, llamados burbujas o cavidades. Como puede ahora observarse en la Figura 2, si se decrece en el valor de la presión a una temperatura constante el líquido pasa a ser vapor

[pic 3]

Figura 2: representación gráfica del fenómeno de cavitación. Si se decrece continuamente la presión desde A a temperatura constante por debajo de 101.3 kPa llegándose a B, el agua cambia de estado líquido a gaseoso.

Una vez se presentan las cavidades en el fluido, se da un proceso dinámico, el cual consta de crecimiento, decrecimiento y colapso. Esta dinámica, viene descrita por la ecuación de Rayleih-Plesset dada por

  [pic 4]

Siendo R(r,t) el radio de la burbuja, R˙ la derivada temporal de la burbuja , pb la presión al interior de la burbuja, p∞ la presión del fluido que rodea a la burbuja, µ la viscosidad, σ la tensión superficial y ρ la densidad del fluido respectivamente. Como el estudio se realiza en un fluido invíscido, se tiene que µ = 0 y (1) se reduce a:

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