Derivadas Hiperbolicas

INTRODUCCIÓN

Se determinará la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas, para luego comprender las derivadas de las funciones hiperbólicas. Como ya se sabe, las funciones trigonométricas son vínculos angulares que utilizan para relacionar los ángulos de un triángulo con las longitudes de los lados del mismo; en el caso de las hipérbolas se compara el área de una superficie con forma semicircular, con el área de una superficie con limites dentro de una hipérbola. Las cuales son funciones correlativas a las funciones trigonométricas ordinarias.

DERIVADAS HIPERBÓLICAS

Para comprender las derivadas hiperbólicas, debemos recapitular sobre las funciones hiperbólicas. Estas funciones se definen como:

(Figura 1)

En matemáticas y ciencias aparecen combinaciones entre e^x y e^(-x), estas se denominan como (ver figura 1).

Según terminología debe de haber una relación entre las funciones hiperbólicas, la primera relación es:

〖cosh〗^2 x- 〖senh〗^2 x=1

(ecuación 1)

Recordando en trigonometría:

〖cos〗^2 x+ 〖sen〗^(2 ) x=1

(ecuación 2)

Segundo: las funciones trigonométricas están estrechamente relacionadas con el círculo trigonométrico. Las ecuaciones paramétricas x=cos⁡t, y=sen t describen a la circunferencia unitaria. De la misma forma las ecuaciones paramétricas x=cosh⁡t,y=senh t, describen la rama derecha de la hipérbola unitaria x^2- y^2=1. (figura 2)

Las funciones pueden ser pares o impares. Si senh (-x)= -senh(x) entonces senh es una función impar; si cosh (-x)= -cosh(x) entonces cosh es una función par. Como corresponde la gráfica de y=senh x es simétrica respecto al rigen y x=cosh⁡x es simétrica con respecto al eje de y. De la misma manera es una función tanh es una función impar y sech es una función par. (figura 3)

Derivadas de funciones hiperbólicas:

Se puede encontrar D_(x ) senh x y D_(x ) cosh x de una manera directa partiendo de las siguientes definiciones:

Las otras cuatro derivadas de las funciones hiperbólicas se deducen de las anteriores dos, en donde se combina la regla del cociente. Según el siguiente teorema.

Otra forma en que las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas se encuentran relacionadas es en ecuaciones diferenciales. Las funciones y=senh x y x=cosh⁡x son soluciones de la ecuación

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