Derivadas

Para el producto de un monopolista la función de demanda es p=450 - 4q y la función de costo es c=0.004q3 + 20q + 500. ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? ¿A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad?

Sugerencia: Recuerden que p representa el precio y los ingresos se calculan multiplicando el precio por la cantidad de productos q

RTA:

I= (P) (Q)

P= 450 – Q

C= 0.004 Q3 + 20 Q + 500

I = Q (450 – 4 Q)

I = 450 Q – 4 Q2

U = I – C

U = 450 Q – 4 Q2 – (0.004 Q3 + 20 Q + 500)

U = -0.004 Q3 – 4 Q2 + 430 Q – 500

U = -0.012 Q2 – 8Q + 430

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

X = -(-8) +/- ((-8)2 – 4 (-0.012)(430)))1/2

2 (-0.012)

X = 8 + 9.2 = -716.66 X = 8 – 9.2 = 50

-0.024 -0.024

-0.012 (50)2 – 8 (50) + 430 = 0

-0.12 (-716.66) – 8 (-716.66) + 430 = 0.0613328

P = 450 – 4 (50) = 250.

El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función: B(x)= 1.2x − (0.1x)3 donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.

Calcule la producción mensual que hace máximo el beneficio.

B(X) = 1.2 X – (0.1 X)3

B(X) = 1.2 – 3 (0.1X)2(0.1) = 1.2 – 0.003 X2

X2 = -1.2

-0.003

X2 = 400

X= 20

B(X) = ((1.2) (20) – ((0.1) (20))3) = 16

Una inversora genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500000 pesos:

¿Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible?

¿Cuál será el valor de dicha rentabilidad?

R (X) = -0.000002X2 + 0.8X

R(X) = -0.000004X + 0.8

-0.000004X = -0.8

X= -0.8X = 200.000

-0.000004

-0.000002 (200.000)2 + 0.8 (200.000) = 80.000

¿Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible?

200.000 pesos

¿Cuál será el valor de dicha rentabilidad?

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