Desarrollo De Programa Matemática 1

Unidad 1: Números Reales y Recta Real

Conjunto R. Propiedades. Operaciones. Propiedades. Notación Científica. Porcentajes. La recta real. Sistemas de coordenadas en el plano y en el espacio. Valor absoluto de un número real. Propiedades. Distancia entre 2 puntos. Intervalo. Entorno. Inecuaciones. Conjunto de Números Complejos. Definiciones. Operaciones. Representación cartesiana y trigonométrica.

Números Reales y Recta Real

La noción de números es una de las más antiguas y fundamentales de la ciencia. Algunos antropólogos afirman que los pueblos primitivos se valían de piedras para contar sus rebaños. En la actualidad se utilizan los NÚMEROS NATURALES. Este conjunto se simboliza con la letra “N”.

N: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9)

Cuando el conjunto incluye al cero, se denomina “Conjunto de Números Naturales Ampliados”.

N0: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9)

Con los números N pueden realizarse operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, radicación y potenciación; aunque, cabe destacar que en este conjunto, la sustracción no siempre es posible; esto sucede cuando el sustraendo es menor que el minuendo.

En la búsqueda de ecuaciones del tipo x + a = b con “a y b” e N y b es menor o igual a “a”, surge la necesidad de ampliar los números N con el agregado de los números negativos y el cero; obteniéndose el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS (Z).

Z: {…-2, -1, 0, 1, 2…)

Para resolver ecuaciones de la forma c.x = d con “c” y “d” e Z y c es distinto de 0 fue necesario agregar un nuevo tipo de números que posibilitan dividir la unidad en un número entero de partes iguales. Esto condujo al conjunto de NÚMEROS RACIONALES (Q).

2.x = 5

x = 5 l 2 (2, 5)

Se denomina números racionales al conjunto de números enteros y sus partes posibles positivas o negativas. Un número racional admite infinitas representaciones como cociente entre 2 números enteros.

“Todos los números que pueden expresarse como fracción son Racionales”. Los números que no pueden expresarse como fracción se denominan irracionales y se expresan de la forma a:b donde “b” es distinto de cero, pero su decimal es infinito no periódico.

Los números irracionales son aquellos de infinitas cifras decimales no periódicas. Al conjunto formado por I y Q se los denomina números Reales y se los representa por la letra “R”.

Propiedades de los Números Reales

Adición y suma

 (a, b, c y d son números reales)

 Ley de cierre: la suma de dos números reales es otro número real.

 Ley asociativa: a + (b + c) = (a + b) +c = a + b + c

 Ley conmutativa: a + b = b + a

 Ley del elemento neutro: a + 0 = a

 Ley inversa aditiva: a + (- a) = 0

 Ley uniforme: a = b a + c = b + c

 Ley cancelativa: a + c = b + c a = b

Diferencia o sustracción

Ley de cierre: la resta de dos números reales es otro número real.

 Ley uniforme: a = b a - c = b – c

 Ley cancelativa: a - c = b - c a = b

Producto o multiplicación

 Ley de cierre: el producto de dos números reales es otro número real.

 Ley asociativa: a. (b + c) = (a. b). c = a.b.c

 Ley conmutativa: a. b = b. a

 Ley del elemento neutro: a. 1 = a

 Ley inversa multiplicativo: a. (1: a) = 1 si “a” es distinto de 0

 Ley uniforme: a = b a. c = b. c

 Ley cancelativa: a. c = b. c a = b

 Ley distributiva del producto respecto de la adición y sustracción: d. (a + b – c) = d. a + d. b – d. c

 Si en una multiplicación uno de los factores es 0, el producto que se obtiene es 0 y recíprocamente.

División o cociente

 Ley de cierre: el cociente de dos números reales es otro número real.

 Ley uniforme: a = b a: c = b: c y “c” es distinto de 0

 Ley cancelativa: a: c = b: c a = b y “c” es distinto de 0

 Ley distributiva a la derecha del cociente respecto de la adición y sustracción:

 (a + b – c): d = a: d + b: d – c: d; con “d” distinto de 0

 Si el dividendo es cero y el divisor es distinto de cero, el cociente es cero.

Potenciación

Se llama potencia enésima de un número a, con “n” número natural al producto de n factores iguales a “a”. En símbolos: an= a.a.a…a = p

 Todo numero racional no nulo elevado a una potencia de exponente negativo es igual a la potencia positiva de su recíproco: a –n = (1: a)n

 Ley uniforme: a = b an = bn

 Ley distributiva respecto del producto: (a. b)n = an.bn

 Ley distributiva respecto del cociente: (a: b)n = an: bn

 Producto de potencias de igual base: an. am = an+m

 Cociente de potencias de igual base: an : am = an-m

 Potencia de otra potencia: (an)m = am.n

 Todo número distinto de cero elevado a la potencia cero es 1: a0 = 1

Radicación

 Ley distributiva respecto del producto.

 Ley distributiva respecto del cociente.

 Raíz de otra raíz.

Notación Científica

Es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base 10. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o números muy pequeños.

Responde a la fórmula a x 10n con “a” e R / a mayor igual a 1 menor a 10.

“n” es un número entero y recibe el nombre de orden de magnitud.

Porcentaje

Es un valor por cada 100 unidades. Responde a la fórmula R= (C. %): 100

Recta Real

A todo número real le corresponde un punto en la recta y a todo punto de la recta le corresponde un número real.

-Recta numérica: es aquella en la cual se representan los números Z; se marca el 0 y un segmento unidad que, repetido hacia la derecha, permite representar los enteros positivos, y hacia la izquierda los enteros negativos.

-Segmento Unidad: determina el tamaño de la escala; es el segmento comprendido entre 0 y 1.

Sistema de coordenadas en el plano y en el espacio

Para construir un sistema de coordenadas en el plano (2 dimensiones), se eligen arbitrariamente 2 rectas que se corten L1 y L2.

Para ubicar el punto del plano a-b se señala en la recta 1 el punto de coordenada a y en la recta 2 el punto de coordenada b. Se trazan por estos, paralelas a L1 y L2 respectivamente, el punto de intersección de estas paralelas es el punto asociado al par (a-b).

Habitualmente, los ejes se toman perpendiculares y se adopta el mismo segmento unidad en ambos. En estos casos el sistema de coordenadas se denomina “Cartesiano Ortogonal”.

Módulo o Valor Absoluto

“a” e R. Se llama módulo o valor absoluto de “a” / a / =

Llamamos módulo o valor absoluto de un número real R (x) a la distancia entre dicho y 0, esto implica que, el valor absoluto siempre es un número no negativo.

l x l = d. [x, 0 l

Propiedades

 / a + b / menor igual / a / + / b / (Propiedad Triangular)

 / a - b / mayor igual / a / - / b / (Propiedad Triangular)

 / a. b / = l a l . l b l (Propiedad Multiplicativa)

 / a : b / = l a l : l b l (Propiedad Multiplicativa)

 / x / menor a con “a” mayor a 0 -a menor x menor a

 / x / mayor a con “a” mayor a 0 x menor a –a y x mayor a “a”

Estas 2 últimas son útiles para resolver inecuaciones.

Distancia entre 2 puntos

a y b E R. Se denomina distancia entre 2 puntos a la distancia del punto a al punto b y se resume en la expresión (a, b).

(a, b) = l b – a l que satisface las siguientes propiedades:

 d. (a, b) mayor igual 0

 d. (a. b) = d. (b. a)

 d. (a, b) menor igual d. (a, c) + d. (c. b) en caso de ser menor.

Intervalo

Los conjuntos de puntos comprendidos en la recta real entre 2 puntos “a” y “b” (llamados extremos) surgen con tanta frecuencia que es conveniente disponer de nombres especiales para ellos.

a) El conjunto de números reales formado por “a”, “b”, y todos los comprendidos entre ambos recibe el nombre de INTERVALO CERRADO y lo designaremos [a, b[

b) El conjunto de números reales comprendidos entre “a” y “b” se denomina INTERVALO ABIERTO, y se designa (a, b).

En ambos casos, la longitud del intervalo es el número positivo: b – a

c) Estas definiciones pueden extenderse a INTERVALOS SEMIABIERTOS O SEMICERRADOS.

*Semiabierto a izquierda o semicerrado a la derecha.

*Semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda.

d) Finalmente, se puede generalizar considerando la semirrecta y la recta como intervalos usando los símbolos -& e &. Debe tenerse mucho cuidado en estos casos, ya que estos últimos símbolos se utilizan solamente por conveniencia de notación y nunca como números reales.

Entorno

Dado un punto, se llama entorno del mismo a todo intervalo que tiene ese punto como punto medio.

----l1------l3-----l5---

(1 + 5): 2 = 3

Es decir que dado un punto, existen infinitos entornos del mismo, depende dela amplitud que se adopte. Un entorno de “a”

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