ECUACIONES DIOFANTICAS

UNA INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS EN SECUNDARIA

Jorge Luis Chinchilla Valverde – Reiman Yitsak Acuña Chacón

jochinchilla@itcr.ac.cr – reiacuna@itcr.ac.cr

Instituto Tecnológico de Costa Rica, Costa Rica

Tema: Pensamiento Algebraico

Modalidad: MC

Nivel educativo: Formación y actualización docente

Palabras clave: Ecuaciones Diofánticas, Resolución de Problemas, Pensamiento Algebraico, Pensamiento Aritmético.

Resumen

El presente trabajo tiene como objetivo reflejar la importancia de las ecuaciones diofánticas dentro de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas a nivel de secundaria. Se pretende motivar a los y las participantes del minicurso mostrando algunas aplicaciones de las ecuaciones diofánticas en la resolución de problemas algebraicos y aritméticos, mediante el uso de técnicas y métodos de resolución de índole histórica y práctica.

Introducción

La resolución de ecuaciones es un tema que se desarrolla en secundaria desde los primeros niveles y, que a su vez, permite el estudio de los diversos conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales, irracionales y reales). Empero, una clase especial de ecuaciones, por lo general relegada de los programas de estudio de matemáticas a nivel de secundaria (en Costa Rica) son las llamadas ecuaciones diofánticas, que por su naturaleza, son catalogadas como difíciles y laboriosas.

Gracián (2013) señala que el interés que encierra la resolución de una ecuación diofántica está en relación directa con la naturaleza de las incógnitas. Por ejemplo, si lo que se plantea en una ecuación hace referencia al volumen de un líquido no importará, en principio, que la solución incluya cantidades fraccionarias; pero si se trata, por ejemplo, del número de personas que pueden asistir a una reunión, está claro que únicamente tendrán sentido las soluciones enteras, ya que carecería de sentido dividir a una persona en trozos.

No obstante, “no todas las ecuaciones diofánticas tienen un método (algoritmo) que permita resolverlas de manera sistemática” (Gracián, 2013, p. 1). De hecho, la mayoría no lo tienen. La búsqueda de un método de resolución para ecuaciones concretas ha sido, durante mucho tiempo, objeto de estudio por matemáticos de la talla como Euler o Lagrange, y más recientemente de Minkowski o Chevalley.

A pesar de ello, consideramos que estas ecuaciones encierran procesos de resolución que rescatan valiosos recursos tanto pedagógicos como conceptuales, además de ofrecer una rica información histórica de la misma. Al echar un vistazo en la historia, encontramos escenarios en que los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo del tiempo. Por ejemplo, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos que datan del año 3000 a.C.

De acuerdo con Barrantes et al. (2007), el estudio de las ecuaciones diofánticas permite reforzar conocimientos adquiridos en cursos y niveles anteriores, además de brindarle al docente ideas para motivar a sus estudiantes en el estudio de la resolución de ecuaciones y, por qué no, incrementar el interés por la matemática.

Al respecto, Pérez (2011) expone la siguiente situación:

Supongamos que se te pide que des las soluciones de la ecuación 3x+14y=20; seguramente dirás que es un problema muy sencillo, que la solución es y=(20-3x)/14, donde x puede tomar cualquier valor. Otra cuestión mucho menos obvia es que halles las soluciones con x e y enteros. (p.22)

Este tipo de ecuaciones lleva su nombre en honor a Diofanto, matemático griego del año 275 a.C. que las estudió extensivamente y dio soluciones a algunas de ellas. Su vida se desconoce por completo; sin embargo ha llegado hasta nosotros un texto escrito por él llamado "La Aritmética" en el que se plantean y resuelven 189 problemas de álgebra que hoy resolveríamos utilizando ecuaciones de primero y segundo grado como sistemas de ecuaciones. Por este hecho se le conoce como el padre del Álgebra y a las ecuaciones de primer grado se les llama, también, "ecuaciones diofantinas". (Albedea, 2011)

Con el tiempo, han aparecido un número mayor de ecuaciones diofánticas, entre las que se encuentran la ecuación pitágorica, la ecuación de Pell, entre otras.

Como se expuso anteriormente, para obtener la solución a dichas ecuaciones no existen métodos únicos, y dependen en gran manera de la intuición. En nuestro caso, daremos algunos procesos teóricos para llegar a ellos.

Marco Teórico

En esta sección expondremos parte de la teoría necesaria para introducir las ecuaciones diofánticas. Como punto importante, aclaramos que las definiciones y estrategias utilizadas corresponden a un compendio de las obras de Guelfond (1984), Barrantes et al. (2007), Burton (1969), Sarmiento (2004), entre otros.

Ecuación Diofánticas

Se llama ecuación diofántica o ecuación diofantina a cualquier ecuación polinomial con coeficientes enteros cuya solución se restringe únicamente a aquellos valores enteros que satisfacen la ecuación.

Tipos de ecuación diofánticas

Para efectos del minicurso se tratarán dos tipos de ecuaciones diofánticas: las lineales o de primer orden (en dos y tres variables) y las cuadráticas o de segundo orden con dos variables.

Técnicas para resolver ecuaciones diofánticas

Las técnicas para resolver cada una de las ecuaciones diofánticas anteriormente citadas involucra una serie de teoremas de suma importancia. Es por ello que, a continuación, se formulan los teoremas respectivos y un ejemplo particular. Las demostraciones y otros cálculos se tratarán en el minicurso.

2.3.1. La ecuación ax+by=c

Teorema: Sean a, b y n ∈Z. La ecuación lineal ax + by =c tiene solución entera〖 x〗_0; y_0 si y sólo si d = mcd(a,b) divide a c.

Ejemplo: Supongamos que nos encontramos el siguiente problema:

Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántos trajes ha comprado de cada color?

Solución: Sea x= cantidad de trajes negros, 12-x= cantidad de trajes grises, y= precio de un traje negro, y+30= precio de un traje gris. La ecuación asociada al problema es x(y+30)+(12-x)y=1200. Al simplificar esta ecuación obtenemos 30x+12y=1200. Luego, se quiere encontrar la solución entera a esta ecuación. Como mcd(30,12)=6 es un divisor de 1200 esta ecuación tiene soluciones. Mediante una serie de procedimientos, los cuales serán descritos en el minicurso, se obtiene

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