ED. LAPLACE

TRANSFORMACIONES A FIN

Resuelva por Separación de variables la EDP

Al separar sus variables

Donde

Así

Aquí es fácil ver que no es posible separar las variables; ya que no se puede generar ningún tipo de agrupación de variables semejantes.

Considerar una transformación afín, para esto primero clasificaremos la E.D.P

Considerar una transformación afín, para esto primero clasificaremos la E.D.P ,la cual tiene así el discriminante es es decir la ecuación es hiperbólica y como usamos.

Asi

Es decir

Así despejando tenemos

Con esta transformación afín, buscamos llegar a las nuevas variables de la ecuación de la onda, la cual podemos escribir como:

Ya con esta buscamos aplicar separación de variables

Así escribimos

Reescribiendo llegamos a

en la cual es fácil ver, después de manipular algebraicamente que las variables se pueden separar

Como vemos la parte izquierda depende exclusivamente de v y la parte derecha de w, asi es constante, por tanto, llegamos a un sistema desligado de dos ecuaciones diferenciales ordinarias.

Trabajamos la parte 1.

Llevando a la ecuación auxiliar

Lo cual nos lleva a tres casos

es decir

Así

Por lo tanto

Y así para

Nuevamente con la ecuación auxiliar llegamos a

Por tanto

Por lo tanto

Así usando la transformación llegamos a

Ahora consideremos cuando

es decir

Las raíces (de la auxiliar) son reales y diferentes

Sea y

Así las soluciones son

Y para la parte que depende de w

La auxiliar

Consideremos solo

Así llegamos a las raíces y

Los otros casos de dejan al lector.

A ̅U(xx) ̅+B ̅U(xy) ̅+C ̅U(yy) ̅+D ̅Ux ̅+E ̅Uy ̅+F ̅U=G ̅

Ux,y=X(x)*Y(y)

Ux= X´(x)*Y(y)

Uy=X(x)*Y´(y)

Uxx=X´´(x)*Y(y)

Uyy=X(x)*Y´´(y)

Uxy=X´(x)*Y´(y)

x ̅=α_1 x+β_1 x

y ̅= α_2 x+ β_2 y

3U_xx+2U_xy+5U_y-3U_x=0

x ̅=2x-y

y ̅=x+3y

U_x=du/dx = du/( dx)*(dx ̅)/dx + du/dy*(dy ̅)/dx

U_x= Ux ̅*x ̅x+ Uy*y ̅x

...