EXTREMOS EN UN INTERVALO

EXTREMOS EN UN INTERVALO

Valores extremos de una función de variable real

Una mirada atenta a la siguiente figura permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte, como los siguientes:

f (c1) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c1. Se dice entonces que f (c1) es un máximo relativo de f (x). Nótese, además, que en el punto P1(c1, f (c1)) la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es, f '(c1) = 0.

Igualmente, f (c3) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c3. Así que f (c3) es otro máximo relativo de f (x).

Sin embargo, en el punto la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto donde ocurre un máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada. f (c2) es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c2.

Se dice, entonces, que f (c2) es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que en el caso anterior en el punto P2 (c2, f (c2)), ocurre que f’(c2) = 0.

Si se comparan ahora todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo [a, b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que f (c3) es el mayor valor. A f (a) y f (c3) se les llama, respectivamente, el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f (x) en [a, b].

Los conceptos antes mencionados serán presentados aquí en forma rigurosa, así como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos.

Al final se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado.

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