Econometria Gujarati - Apendices A, B y C Resumen

Apéndice A

Revisión de algunos conceptos estadísticos

A.1   Operadores de sumatoria y de producto

[pic 1]

A.2   Espacio muestral, puntos muestrales y sucesos

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, o al azar, se denomina población o espacio muestral, y cada miembro de este espacio muestral se denomina punto muestral.

A.3   Probabilidad y variables aleatorias

Probabilidad

Variables aleatorias

A.4   Función de densidad de probabilidad (FDP)

Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua

Funciones de densidad de probabilidad conjunta

Función de densidad de probabilidad marginal

Independencia estadística

A.5   Características de las distribuciones de probabilidad’

Valor esperado. El valor esperado de una va discreta X, denotado por E(X ), se define de la siguiente manera:[pic 2]

Donde x sígnica la suma sobre todos los valores de X y f (x) es la FDP (discreta) de X.

Propiedades de los valores esperados

1. El valor esperado de una constante es la constante misma. Así, si b es una constante, E(b)

Varianza

Sea X una variable aleatoria y sea E(X)  μ. La distribución o dispersión de los valores de X alrededor del valor esperado se mide por la varianza, la cual se define como:[pic 3]

La raíz cuadrada positiva de σ2 X, se define como desviación estándar de X. La varianza o la desviación estándar da una indicación de qué tan cercanos o dispersos están los valores individuales de X respecto del valor de su media.

Covarianza

Sean X y Y dos va con medias μx y μy, respectivamente. Entonces, la covarianza entre las dos variables se define como

[pic 4]

Se observa con facilidad que la varianza de una variable es la covarianza de dicha variable con ella misma.

[pic 5]

Propiedades de la covarianza

1. Si X y Y son independientes, su covarianza es cero.

[pic 6]

Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación (poblacional) ρ (rho) se define como

[pic 7]

Así definido, ρ es una medida de la asociación lineal entre dos variables y su valor se sitúa entre −1 y +1, donde −1 indica una perfecta asociación negativa y +1 indica una perfecta asociación positiva. De la fórmula anterior se ve que

[pic 8]

Momentos superiores de las distribuciones de probabilidad

Los momentos tercero y cuarto de una FDP univariada f (x) alrededor del valor de su media (μ) se definen como[pic 9]

En general, el momento r-ésimo alrededor de la media se define como:[pic 10]

El tercero y cuarto momentos de una distribución sirven a menudo para estudiar la “forma” de una distribución de probabilidades, en particular su asimetría, S (es decir, falta de simetría), y su apuntamiento o curtosis, K (es decir, altura o aplanamiento), como se aprecia en la fi gura A.3.

Una medida de asimetría se define como:

[pic 11]

Una medida común de curtosis está dada por[pic 12][pic 13][pic 14]

Las FDP con valores de K menores que 3 se denominan platicúrticas (anchas o de colas cortas), y las que tienen valores mayores que 3 se denominan leptocúrticas (delgadas o de colas largas). Vea la fi gura A.3. Una FDP con un valor de curtosis de 3 se conoce como mesocúrtica, cuyo ejemplo principal es la distribución normal. (El análisis de la distribución normal está en la sección A.6.)

A.6   Algunas distribuciones de probabilidad teóricas importantes

Distribución normal

La más conocida de todas las distribuciones de probabilidad teóricas es la distribución normal, cuya forma de campana es familiar para quien tenga un mínimo conocimiento estadístico.

Se dice que una variable aleatoria (continua) X está normalmente distribuida si su FDP tiene la siguiente forma: [pic 15]

[pic 16][pic 17]

donde μ y σ 2, conocidos como parámetros de la distribución, son la media y la varianza de la distribución, respectivamente.

Para utilizar esta tabla, convertimos la variable dada X normalmente distribuida con media μ y σ 2 en una variable Z normal estandarizada mediante la siguiente transformación: [pic 18]Una propiedad importante de toda variable estandarizada es que su valor medio es cero y su varianza es la unidad. Así, Z tiene media cero y varianza unitaria.

Por convención, denotamos una variable distribuida normalmente como:[pic 19] 

donde ∼ significa “distribuido como”, N significa distribución normal y las cantidades en los paréntesis son los dos parámetros de la distribución normal, a saber: la media y la varianza. Según esta convención, [pic 20]  significa que X es una variable normalmente distribuida con media cero y varianza unitaria. En otras palabras, es una variable Z normal estandarizada.

Distribución χ2 (ji cuadrada)

Sean Z1, Z2,... , Zk variables normales estandarizadas independientes (es decir, variables normales con media cero y varianza unitaria). Así, se dice que la cantidad[pic 21]

sigue la distribución χ2 con k grados de libertad (gl), donde el término gl signifi ca el número de cantidades independientes en la suma anterior. Una variable distribuida como ji cuadrada se denota por χ2 k donde el subíndice k indica los gl. [pic 22][pic 23]

Las propiedades de la distribución χ2 son las siguientes:

1. Como indica la fi gura A.5, la distribución χ2 es una distribución asimétrica; el grado de la asimetría depende de los gl. Cuando los gl son comparativamente pocos, la distribución está muy sesgada hacia la derecha; pero a medida que aumenta el número de gl, la distribución es cada vez más simétrica. De hecho, para gl por encima de 100, la variable[pic 24]puede tratarse como una variable normal estandarizada, donde k son los gl.

2. La media de la distribución ji cuadrada es k y su varianza es 2k, donde k son los gl.

3. Si Z1 y Z2 son dos variables ji cuadrada independientes con k1 y k2 gl, la suma Z1 + Z2 es también una variable ji cuadrada con gl  k1 + k2.

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