Ecuaciones - Actividad

ECUACIONES

IGUALDAD.- Una igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor.

Existen 2 tipos de igualdades:

• Igualdades absolutas (se las llama identidades)
• Igualdades condicionales (se las llama ecuaciones)

IDENTIDAD.- una identidad o igualdad absoluta, es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el símbolo “=” y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.

Ejemplo:

42 = 16

(a + b)2 = a2+2ab+b2

ECUACIÓN.-  Una Ecuación o igualdad condicional, es aquella que es verdadera solo que algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda. La incógnita de una ecuación se suele expresar con la letra x.

Ejemplo:

X – 2 = 17, es una igualdad siempre y cuando x=19

3x + 2 = 7, es una igualdad siempre y cuando x =5/3

SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN.- Los valores de la incógnita x que hacen que la ecuación se convierta en una igualdad, se denominan  soluciones o raíces de la misma.

El proceso para determinar las soluciones de una ecuación se denomina resolución de la ecuación..

ECUACIONES EQUIVALENTES.- dos ecuaciones son equivalentes cuando  tienen la misma solución.

ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN

Miembros.- los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Términos.- Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros de una ecuación.[pic 1]

PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES

1. Propiedad Aditiva: toda igualdad puede sumársele o restársele un mismo valor tanto en el primer miembro, como en el segundo miembro sin alterar la igualdad.

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación aplicando esta propiedad:

• X+2=3
• X + 2 – 2 = 3 – 2
• X = 1

1. Propiedad de la Multiplicación.- toda igualdad puede multiplicarse o dividirse un mismo valor tanto en el primer miembro, como en el segundo miembro sin alterar la igualdad.

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación aplicando esta propiedad:

• 2X = 10
• 2x(1/2) = 10(1/2)     
• x = 5

1. Propiedad del Exponente.- toda igualdad puede elevarse a un exponente de un mismo valor tanto en el primer miembro, como en el segundo miembro sin alterar la igualdad.

ECUACIONES DE 1er GRADO

1. -      2      =       1        -      2    =           1      -      2         -      2           -      2   =     [pic 2]

  X+3           5x-20     3x -2           x+3           x +3         5(x-4)           3                x+3   [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

                                                                                                       3(x-4)

5(x-4)-2(X+3)            3((x+3)-3.3 (x-4)            5x-20-2x-6            3x      +      9   - 6x  +  24[pic 11][pic 12][pic 13]

                               =    2                           =                              =        2               2                          =[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

5(x+3)- (X-4)              3(x-4)  (x+3)                  5(x+3) (X-4)              3(x-4)  (x+3)  

3x +9-2+48  =  -9x +57=   3x-26 =  -9x  +57   =  3x-26 =  -9x +57 =[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

       2                     2                 5              2                                     6[pic 23]

                                                                  3

   6(3x-26)= -9x+57            =    [pic 24]

                            6

     6(3x-26)5(-9x+57)

     18x-156=45x+285

      18x+45x=156+285

     63x=441

     X=     447[pic 25]

              63

    X=       7           respuesta

  5x-27x    -    1    =   x-6  =       (x) 5x2 -27x-(5x+3)  =    x-6  [pic 26][pic 27][pic 28]

  5x+3             x                              (5x+3) (x)

5x3-27x2-5x-3=(x-6) (5x+3) (x)

5x3-27x2-5x-3= (5x2+3x-30x-18) (x)

5x3-27x2-5x-3= 5x3+3x2-30x2-18x

-27x2-5x+27x2+18x=3

13x=3

X=   3         respuesta [pic 29]

      13[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

  2   x+2     - 3       (x-2)   =     x2 + 78         =   2x-4   -    3x-6    =   x2 +78        =[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

       X-2                 2x+3         2x2  -x-6              x-2         2x+3         2x2-x-6          

 (2x+4) (2x+3 -  (3x-  6)  (x-2)       =         x2+78           =[pic 40][pic 41]

          (x-2)  (2x+3)                                  (x-2)  (2x+3)              

4x2+6x+18x+12-(3x2-66-16+12)   =

4x2+14x+12-3x2+12x-12 = x2+78

X2+26x= x2+78

 26 x =78

  X=     78[pic 42]

           26

 X=      3            respuesta        

Ecuaciones de 1er grado con literales

2(x-c)   =   2x +c        = 2(x-c)   [4(x-b)] = (2x +c)   (4x-b) [pic 43][pic 44]

(4x-b)       4(x-b)

8(x-c)   (x-b)   =    8x2-2bx +4cx-bc

8x2-8bx -8cx+8bc = 8x2 -2bx   + 4cx –b c  

-8bx-8cx +2bx-4ac = -b c   - 8bc  

-6bx -12cx=-9bc

-6x (b-2 c   ) =- 9bc  

X=           9bc [pic 45]

            6(b-2 c)

X=           3bc              respuesta [pic 46]

            2(b+2c)

 1          +    x2         =    X+a      =        (X+a) (X+a)-(x-a) (X+a)   =           2ax + a2 b =   [pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

X+a         a2+ ax              a                       (x-a) (X+a)                                      (x-a) (X+a)

X2+ ax +ax +a2-(x2-ax- ax +a2)

X2+ ax+ ax+ a2 –x2+ ax+ ax- a2= 2ax +a2 b

4ax=2ax   +a2 b

4ax -2ax   =a2 b                      

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