Ecuaciones De Ricati

Ecuaciones De Riccati

Antes de que demos la definición formal de las ecuaciones de Riccati , una poca introducción puede ser provechosa. De hecho, considere la primera orden ecuación diferencial

Si aproximamos f ( x , y), mientras que x es constante guardada, conseguiremos

Si paramos en y , conseguiremos una ecuación linear. Riccati miraba la aproximación al segundo grado: �l consideraba las ecuaciones del tipo

Estas ecuaciones llevan su nombre, ecuaciones de Riccati . Son no lineales y no caen bajo categoría de cualesquiera de las ecuaciones clásicas. Para solucionar una ecuación de Riccati, una necesitar una solución particular. Sin saber por lo menos una solución, no hay absolutamente ocasión de encontrar ningunas soluciones a tal ecuación. De hecho, deje y 1 ser una solución particular de

Considere la nueva función z definida cerca

Entonces los cálculos fáciles dan

Cuál es una ecuación linear satisfecha por la nueva función z . Una vez que se solucione, vamos de nuevo a y va la relación

Tenga presente que puede ser más duro recordar la ecuación antedicha satisfecha por z . En lugar, intento para hacer los cálculos siempre que usted pueda. Ejemplo. Solucione la ecuación

sabiendo que y 1 = 2 es una solución particular.

Respuesta. Reconocemos una ecuación de Riccati. Primero de todos necesitamos cerciorarnos de que y 1 sea de hecho una solución. Si no, nuestros cálculos serán infructuosos. En este caso particular, es absolutamente fácil comprobar que y 1 = 2 es una solución. Sistema

Entonces tenemos

Cuál implica

Por lo tanto, de la ecuación satisfecha por y , conseguimos

Las manipulaciones algebraicas fáciles dan

Por lo tanto

z ' = -3 z -1.

Esto es una ecuación linear . La solución general se da cerca

Por lo tanto, tenemos

Nota: Si uno recuerda la ecuación satisfecha por z , después las soluciones se pueden encontrar un pedacito mas rápido. De hecho en este ejemplo, tenemos P (x) = -2, Q (x) = -1, y R (x) = 1. Por lo tanto la ecuación linear satisfecha por la nueva función z , es

Ejemplo. Compruebe a que esta una solución

Entonces solucione el IVP

Dejaremos a lector comprobar que es de hecho una solución particular de las ecuaciones diferenciales dadas. También reconocemos que la ecuación esta de tipo de Riccati. Sistema

cual da:

Por lo tanto

El substituir en la ecuación da

Las manipulaciones algebraicas fáciles dan

Por lo tanto

�esta es la ecuación linear satisfecha por z . El factor que integra es

La solución general es

Ahora es hora de ir de nuevo a la función original y . Tenemos

La condición inicial y (0) = -1 implica 1/ C = -1, o C = -1. Por lo tanto la solución al IVP esta

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