Ecuaciones Diferenciales Explicacion Basica

Solución general a partir de una familia a partir de una familia n-paramétrica.

Si toda solución de una ecuación de orden n f(x,y,y’….yn)=0 en un intervalo i se puede obtener partiendo de una función n-paramétrica g(x,y,c1,c2,...cn)=0 con valores adecuados de los parámetros ci(i=1,2,3,…n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.

El nombre solución general solo se aplica para las ecuaciones diferenciales lineales.

PROBLEMAS CON VALOR INICIAL Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA.

Problemas con valor inicial

Es la ecuación diferencial acompañada de condiciones iniciales que se imponen a y dx o a sus derivadas en algún intervalo i que contenga ese valor específico.

Observación consiste en resolver una ecuación diferencial dadas ciertas condiciones para el mismo valor de la variable independiente ejemplo:

Encuentre la solución al problema de valor inicial:

Y’+Y = 0; y(3)=2 sabiendo que la solución general de la ecuación diferencial es y(x) = c1e-x

Y(3)=c1e-3=2

c1= 2/e-3

c1= 2e3

Y(x)=2e3*e-x

Y(x)=2e3-x

Y’(x)=-2e3-x

Problemas de valores en la frontera

Otro tipo de problema es resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden o mayor en la que la variable dependiente y o sus derivadas estén especificadas en puntos distintos ejemplo:

Halle una solución para el problema de valores en la frontera de y’’+4y=4; y(pi/8)=0; y(pi/6)=1 si la solución general de la ecuación diferencial es y(x)=c1sen(2x)+c2cos(2x)

Y(pi/8)=c1sen(pi/8)+c2(pi/8)=0

Y(pi/4)=c1sen(pi/4)+c2(pi/4)=0

C1(1/ sqrt(2))+c2(1/ sqrt(2))=0

Sqrt(2C1(1/sqrt(2))+ sqrt(2)c2(1/sqrt(2))= sqrt(2)(0)

C1+c2=0

Y(pi/6)=c1sen(pi/6)+c2(pi/6)=0

Sqrt(3)c1+c2=2

C1+c2=0

Sqrt(3)c1+c2=2

-(C1+c2=0)

Sqrt(3)c1+c2=2

Y=cex y=cex

Y’-y=0 y’=cex se derivó para obtener la y’ que sale en la solución original

Y=2e-2x+1/3ex y’=2e-2x+1/3ex

Y’=-4e-2x+1/3ex

Y’+2y=ex

-4e-2x+1/3ex+2(2e-2x+1/3ex) = ex

-4e-2x+1/3ex+4e-2x+2/3ex = ex

(-4e-2x+4e-2x)+(1/3ex+2/3ex) = ex

3/3ex= ex

Modulo 2

Ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado:

Las ecuaciones diferenciales pueden estar escritas en su forma estándar o en su forma diferencial Forma estándar

Y’=f(x,y)

Ejemplo

Y’+y-senx=0 y’=(3yx2)/(x3+y4) exy’+e2xy=sen(x)

Y’=-y+sen(x) f(x,y)= (3yx2)/(x3+y4) f(x,y)=(sen(x)- e2xy)/ex

F(x,y)= y+sen(x)

Forma diferencial:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 ó dy/dx=-(N(x,y))/(n(x,y))

Clasificación de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuación diferencial de primer orden

Ecuaciones de ecuación homogénea ecuación exacta ecuación lineal

Variables separables

Dy/dx=g(x)h(y) f(tx,ty)=tf(x,y) ∂M/∂y=∂N/∂x y’+P(x)y=g(x)

Para resolver una ecuación diferencial de variable separable los términos se puede arreglar de tal

modo que tomen la siguiente forma: dy/dx=g(x)h(y)

se pasan las partes relativas a y con dy y las relativas a x con dx para integrarlas de manera independiente

dy/h(y)=g(x)dx

∫dy/h(y)= ∫g(x)dx

ln|y|=-x2/2+c

elnx=x ; x(pi/4)=1

g(x)=f(x)

eg(x)=ef(x)

dx/dt=4()x2+1

∫dx/ x2+1=4∫dt

Tan-1(x)=4t+c

Tan-1(1)=4(pi/4)+c

Pi/4=(pi)+c

Pi/4 –pi=c

-3pi/4 = c

Tan-1(x)=4t-3pi/4

X(t)=tan(4t-3pi/4)

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Definición (polinomios homogéneos):

Polinomios homogéneos son aquellos en los que todos los términos son del mismo grado.

Ejemplo:

X4+y3z+9x2yz-10xz3=0 polinomio homogéneo de grado 4

Ecuaciones homogéneas.

Cuando una función f tiene la propiedad f(tx,ty)=tαf(x,y) para un número real α se dice que f es una función homogénea de grado α.

F(x,y)=x3+y3

F(tx,ty)=(tx)3+(ty)3 (ab)n=anbn

=t3x3+t3y3 =t3(x3+y3)=t3f(x,y) α=3

Definición (ecuaciones diferenciales homogéneas)

Una ecuación diferencial de primer orden M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es homogénea si los coeficientes M y N, a la vez son funciones homogéneas del mismo grado es decir:

M(tx,ty)=tαM(x,y)

N(tx,ty)=tαN(x,y) ambos α son iguales.

Ejemplos:

Ysqrt(x2+y2dx) – x (x+sqrt(x2+y2))dy=0 t2M(x,y)

Y2(x2+2)dx+(x3+y3)(ydx-xdy)=0 t2N(x,y)

Métodos de solución de una ecuación diferencial homogénea

Usando sustituciones algebraicas apropiadas las ecuaciones diferenciales homogéneas se convierten en ecuaciones de variables separables.(luego de resolver como variables separables se reemplaza a la variable original)

Las sustituciones algebraicas mas conocidas son:

y/x =u x/y=v

y=ux x=vy

dy=udx+xdu dx=xdy+ydv

(x2+y2)dx-xydy=0 grado 2

(x2+u2x2)dx-xux(udx+xdu)=0

X2dx+u2x2dx- u2x2dx-ux3du=0

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