Ecuaciones Diferenciales

Introducción

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

La variable independiente (v. i) es x

La variable dependiente (v. d) es y

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

La variable independiente (v. i) es “x” y “y”

La variable dependiente (v. d) es V

ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.

Ejemplo

GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

Ejemplos

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.

Solución de una ecuación diferencial

Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas.

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

La expresión es una “función primitiva” de la ecuación diferencial.

Verificación

Observación: Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial.

PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Ejemplo)

Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5)

Solución:

DESCRIPCIÓN DE UNA FAMILIA DE CURVAS

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

Resolución.

Soluciones Particulares

Graficando en Graph

Comprobación

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente, en caso contrario es No Homogénea.

Ejemplos:

Ejemplo

Resolver la ecuación:

Resolución:

En una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio

Integrando

Graficando para un valor arbitrario C = 1

ECUACIONES EXACTAS

Resolver la ecuación

Resolución

Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la condición

Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta

Se Iguala las dos derivadas con respecto a y.

Graficando la solución de la ecuación diferencial para C = 1

ECUACIONES CON FACTORES INTEGRANTES

Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas

Para obtener los factores de integración se pueden emplear las siguientes reglas:

Ejemplo ilustrativo: Resolver la siguiente ecuación diferencial

Solución

Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son:

Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta.

Como

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