Ecuaciones Diferenciales

365 Análisis matemático para Ingeniería.

M.MOLERO; A.SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS

El Análisis ha sido durante trescientos años una de las ramas más

importantes de la Matemática, y las ecuaciones diferenciales constituyen la

parte central del Análisis, además es la que mejor permite comprender las

ciencias físicas y la técnica. Las cuestiones que plantean proporcionan una

fuente de teoría e ideas que permiten avanzar al pensamiento.

En este libro se pretende establecer la relación existente entre las

matemáticas puras y las aplicadas, por lo que se ha considerado muy

interesante introducir las ecuaciones diferenciales presentando muchos

ejemplos concretos y situaciones sencillas del mundo real, y de esta forma

conseguir dos objetivos, por un lado la comprensión de la importancia histórica

que las ecuaciones diferenciales han tenido en el desarrollo de la Matemática y

su actual vigencia y relevancia, es decir, el interés que tiene su estudio desde

el punto de vista matemático. Por otro lado, al estudiar modelos válidos para

explicar situaciones sencillas del mundo real, se motiva la aplicación en

contextos diversos y el tratamiento de diferentes cuestiones asociadas a ellos,

como existencia y unicidad de las soluciones de un problema de valor inicial,

estabilidad, problemas de contorno, comportamiento cualitativo de las

soluciones, que explican la solución del problema y permiten generalizar los

resultados. Para que el ingeniero pueda usar con confianza las ecuaciones

diferenciales debe tener un cierto dominio sobre las técnicas de solución y un

conocimiento suficiente sobre la teoría básica.

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Las ecuaciones diferenciales aparecen en casi todas las áreas de la

Ingeniería Civil, desde la Resistencia de Materiales hasta la Hidráulica. Pero

también tienen como finalidad básica servir como instrumento para el estudio

del cambio en el mundo físico; por todo esto se exponen aplicaciones tales

como la del problema de la braquistócrona, las leyes de Kepler, el oscilador

armónico, la teoría del potencial, las ecuaciones depredador-presa, la

mecánica no lineal, el principio de Hamilton o el problema mecánico de Abel...,

pues el tratamiento matemático de estos problemas es un gran logro para

nuestra civilización.

La razón de esta gran cantidad de aplicaciones se debe a que la derivada

se puede interpretar como el índice de cambio de una variable respecto de la

otra, y las variables que explican los fenómenos se relacionan entre sí por sus

índices de cambio. Al expresar estas relaciones mediante símbolos

matemáticos se obtiene una gran cantidad de ecuaciones diferenciales.

Es interesante detenerse en algunas de las aplicaciones, pues como dice

Simmons1: “... que tratan sobre este tema (ecuaciones diferenciales ordinarias)

me hacen pensar en un autobús turístico cuyo conductor conduce a gran

velocidad para cumplir sus horarios, y sus pasajeros tienen pocas o ninguna

oportunidad para gozar del paisaje. Es mejor que lleguemos algunas veces con

retraso; pero que obtengamos un mayor provecho del viaje”. Por ello es

necesario programar cuidadosamente el viaje, para detenerse y gozar de los

mejores paisajes de las ecuaciones diferenciales, aunque procurando llegar sin

retraso.

1 Simmons, F. (1988): Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas

históricas. McGraw-Hill.

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Para captar la naturaleza y el interés de las ecuaciones diferenciales y

desarrollar métodos para resolver problemas científicos y técnicos no es

conveniente construir una estructura matemática lógicamente impecable, y si

se tiene presente además los niveles de rigor comentados por Freudenthal es

preciso alcanzar exactamente el nivel de rigor adecuado, sin pasarse ni

quedarse cortos, y en algunas ocasiones, presentar argumentos

razonablemente convincentes, aunque puedan no ser auténticas

demostraciones para el profesorado de matemáticas. La historia proporciona la

génesis de los conceptos, y ya se sabe que muchos grandes matemáticos

cometieron, con la óptica actual, graves errores, pero que sin embargo aportan

noticia de la dificultad que pueden tener esos conceptos cuando son

aprendidos por primera vez. En este libro se trata por tanto de combinar, de la

forma más adecuada, el conocimiento teórico con una gran variedad de

aplicaciones.

Los objetivos que se plantean en esta sección son los siguientes:

1. Comprender los conceptos sobre ecuaciones diferenciales y sistemas de

ecuaciones diferenciales.

2. Introducir una serie de métodos y técnicas de solución que se deberán

manejar con soltura, que permitan calcular la solución de determinadas

ecuaciones diferenciales, y en particular de los sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales y de las ecuaciones diferenciales lineales de orden

superior con coeficientes constantes.

3. Aplicar a problemas de valor inicial las hipótesis y conclusiones de los

teoremas de existencia y unicidad presentados, lo que en la actualidad

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resulta de gran importancia para poder utilizar los métodos numéricos.

4. Saber realizar el análisis de las aplicaciones, con construcción de

modelos e interpretación de las soluciones.

5. Puesto que

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