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Ecuaciones diferenciales


Enviado por   •  9 de Abril de 2020  •  Apuntes  •  349 Palabras (2 Páginas)  •  175 Visitas

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  1. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma  y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. . Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial  son:[pic 1][pic 2][pic 3]

  1. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da [pic 4]
  2. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da [pic 5]
  3. Soluciones iguales y reales cuya solución da  + [pic 6][pic 7]
  4. Soluciones distintas y reales cuya solución da  + [pic 8][pic 9]

[pic 10]

Por ser una ecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes constantes, se propondrá la siguiente solución:

Se propone:

[pic 11]

Donde r es una constante, un número real:

Derivando esta expresión:

[pic 12]

Realizando una segunda derivada:

[pic 13]

Ahora, reemplazando estas soluciones en la ecuación diferencial:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Factor común:

[pic 17]

[pic 18]

Por el teorema de factor nulo:

[pic 19]

[pic 20]

Esta última solución no es una tautología porque este tipo de expresión nunca dará como resultado cero, por lo tanto, queda descartada.

Se tomará a:

[pic 21]

[pic 22]

Esta expresión se puede factorizar con la formula cuadrática, pero haciendo uso de otro método de factorización se llega al mismo resultado que el de la formula cuadrática:

[pic 23]

El 3 se puede descomponer como 2+1, es decir se rescribe como:

[pic 24]

Se agrupa y se factoriza:

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

La expresión original queda factorizada de la siguiente manera:

[pic 28]

Despejando r:

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

El radical se cancela con el exponente:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

Dentro del radical hay un número negativo, esto conduce a trabajar con números imaginarios, por lo tanto:

[pic 36]

Se puede observar que esta expresión es igual a la definición de los números complejos, lo cual dice que un número complejo está compuesto por una parte real y otra imaginaria (a: real, bi: imaginaria):

[pic 37]

 

Para poder introducir esta solución compleja como una solución general de la ecuación diferencial, es necesario utilizar una expresión adicional que se deriva de la fórmula de Euler:

...

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