ECUACIONES DIFERENCIALES
Enviado por ELdocS • 19 de Junio de 2020 • Práctica o problema • 557 Palabras (3 Páginas) • 121 Visitas
PROBLEMA 33
Cuando una masa de 2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 32 N/m, llega a la posición de equilibrio. A partir de t=0 se aplica al sistema una fuerza lineal igual a . Deduzca la ecuación de movimiento cuando no hay amortiguamiento.[pic 1]
Solución:
Datos: , .En la posición de equilibrio: [pic 2][pic 3][pic 4]
En la posición de equilibrio , siendo g: aceleración de la gravedad y : deformación del resorte.[pic 5][pic 6]
Al aplicarse la fuerza lineal y aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la siguiente ecuación:[pic 7]
[pic 8]
Las fuerzas son: la fuerza de gravedad, la fuerza elástica ejercida por el resorte y la fuerza lineal [pic 9]
, se reduce a:[pic 10]
, reemplazando los datos y normalizando la ecuación diferencial:[pic 11]
[pic 12]
, la solución es [pic 13][pic 14]
- [pic 15]
Ecuación característica: [pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
- [pic 20]
Por variación de parámetros se cumple que la solución particular [pic 21]
Además: [pic 22]
[pic 23][pic 24]
Reemplazando: [pic 25]
[pic 26][pic 27]
De estas ecuaciones se obtiene:
[pic 28]
, por identidades trigonométricas [pic 29][pic 30]
[pic 31]
Por integración por partes se obtiene:
[pic 32]
Por consiguiente se obtiene : [pic 33][pic 34]
La solución particular es la siguiente:
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
Agrupando y apoyándose de las identidades trigonométricas:
, [pic 38][pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
La solución es la siguiente:[pic 48]
[pic 49]
Para hallar las constantes y se utilizan los valores iniciales [pic 50][pic 51][pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO.
[pic 60]
PROBLEMA 34
En el problema 33, escriba la ecuación del movimiento en la forma . ¿ Cuál es la amplitud de las oscilaciones cuando el tiempo es muy grande)?[pic 61]
Solución:
La solución del problema 33
[pic 62]
Adecuándolo a la nueva ecuación, se deduce que:
...